Эксцесс сферического треугольника, или сферический избыток, — величина в сферической тригонометрии, показывающая, насколько сумма углов сферического треугольника превышает развёрнутый угол.
Определение
Обозначим A, B, C радианные меры углов сферического треугольника. Тогда эксцесс
ε = A + B + C − π {displaystyle varepsilon =A+B+C-pi }Свойства и вычисление
- Поскольку в любом сферическом треугольнике, в отличие от треугольника на плоскости, сумма углов всегда больше π, то эксцесс всегда положителен. Сверху он ограничен числом 2π, то есть всегда меньше этого числа.
- Для вычисления эксцесса сферического треугольника со сторонами a, b, c используется формула Люилье:
- Для вычисления эксцесса сферического треугольника по сторонам a, b и углу C между ними используется формула:
Применение
- Эксцесс сферического треугольника применяется при вычислении его площади, поскольку S = R 2 ε {displaystyle S=R^{2}varepsilon } (здесь R {displaystyle R} — радиус сферы, на которой расположен сферический треугольник, а эксцесс выражен в радианах).
- Телесный угол трёхгранного угла выражается по теореме Люилье через его плоские углы θ a , θ b , θ c {displaystyle heta _{a}, heta _{b}, heta _{c}} при вершине, как: