Эксцесс (сферическая тригонометрия)

Эксцесс сферического треугольника, или сферический избыток, — величина в сферической тригонометрии, показывающая, насколько сумма углов сферического треугольника превышает развёрнутый угол.

Определение

Обозначим A, B, C радианные меры углов сферического треугольника. Тогда эксцесс

ε = A + B + C − π {displaystyle varepsilon =A+B+C-pi }

Свойства и вычисление

• Поскольку в любом сферическом треугольнике, в отличие от треугольника на плоскости, сумма углов всегда больше π, то эксцесс всегда положителен. Сверху он ограничен числом 2π, то есть всегда меньше этого числа.
• Для вычисления эксцесса сферического треугольника со сторонами a, b, c используется формула Люилье:

tg ⁡ ε 4 = tg ⁡ p 2 tg ⁡ p − a 2 tg ⁡ p − b 2 tg ⁡ p − c 2 , p = a + b + c 2 {displaystyle operatorname {tg} {frac {varepsilon }{4}}={sqrt {operatorname {tg} {frac {p}{2}}operatorname {tg} {frac {p-a}{2}}operatorname {tg} {frac {p-b}{2}}operatorname {tg} {frac {p-c}{2}}}},p={frac {a+b+c}{2}}}

• Для вычисления эксцесса сферического треугольника по сторонам a, b и углу C между ними используется формула:

ctg ⁡ ε 2 = ctg ⁡ a 2 ctg ⁡ b 2 + cos ⁡ C sin ⁡ C {displaystyle operatorname {ctg} {frac {varepsilon }{2}}={frac {operatorname {ctg} {frac {a}{2}}operatorname {ctg} {frac {b}{2}}+cos C}{sin C}}}

Применение

• Эксцесс сферического треугольника применяется при вычислении его площади, поскольку S = R 2 ε {displaystyle S=R^{2}varepsilon } (здесь R {displaystyle R} — радиус сферы, на которой расположен сферический треугольник, а эксцесс выражен в радианах).
• Телесный угол трёхгранного угла выражается по теореме Люилье через его плоские углы θ a , θ b , θ c {displaystyle heta _{a}, heta _{b}, heta _{c}} при вершине, как:

Ω = 4 arctg ⁡ tg ⁡ ( θ s 2 ) tg ⁡ ( θ s − θ a 2 ) tg ⁡ ( θ s − θ b 2 ) tg ⁡ ( θ s − θ c 2 ) {displaystyle Omega =4,operatorname {arctg} {sqrt {operatorname {tg} left({frac { heta _{s}}{2}} ight)operatorname {tg} left({frac { heta _{s}- heta _{a}}{2}} ight)operatorname {tg} left({frac { heta _{s}- heta _{b}}{2}} ight)operatorname {tg} left({frac { heta _{s}- heta _{c}}{2}} ight)}}} , где θ s = θ a + θ b + θ c 2 {displaystyle heta _{s}={frac { heta _{a}+ heta _{b}+ heta _{c}}{2}}} — полупериметр. Через двугранные углы α , β , γ {displaystyle alpha ,eta ,gamma } телесный угол выражается, как: Ω = α + β + γ − π {displaystyle Omega =alpha +eta +gamma -pi }