Тензоры в физической кинетике

Масса, заряд, импульс и энергия в уравнениях механики сплошной среды

Основные уравнения механики сплошной среды – непрерывности, движения и энергии – демонстрируют причины изменения во времени плотностей трех основных механических величин: массы m {displaystyle mathrm {m} } , импульса p → {displaystyle mathrm {vec {p}} } и энергии ε {displaystyle varepsilon } .

При этом:

первое слагаемое левой части каждого из названных уравнений представляет собой изменение плотности (количества в единице объема) соответствующей величины в единицу времени;
второе – результат обмена этой величиной выделенного единичного объема с соседними объемами;
третье – изменение плотности соответствующей величины в единицу времени под действием внешних сил;
правая часть – изменение плотности соответствующей величины в единицу времени в результате столкновений частиц в объеме.

При описании газа заряженных частиц одной из форм уравнения непрерывности является закон сохранения заряда в дифференциальной форме, в котором количество вещества представлено не массой m {displaystyle mathrm {m} } , а зарядом q {displaystyle mathrm {q} } .

Общими характеристиками массы, заряда, импульса и энергии являются:

сохраняемость в замкнутых системах;
аддитивность.

Однако, по одному признаку импульс в этом списке стоит особняком. А именно: масса, заряд и энергия – скаляры. Соответственно плотности массы, заряда и энергии – скаляры, плотности потока массы, заряда и энергии – векторы.

Импульс же сам является вектором. Соответственно, плотность импульса есть вектор – полностью описывается тремя величинами. Плотность же потока импульса полностью описывается уже девятью величинами: любая из трех проекций импульса вместе с частицей может переноситься в любом из трех пространственных направлений. Таким образом, плотность потока импульса представляет собой тензор второго ранга (кинетический тензор):

Π = Π 11 Π 12 Π 13 Π 21 Π 22 Π 23 Π 31 Π 32 Π 33 {displaystyle mathbf {Pi } ={egin{array}{|ccc|}Pi _{11}&Pi _{12}&Pi _{13}Pi _{21}&Pi _{22}&Pi _{23}Pi _{31}&Pi _{32}&Pi _{33}end{array}}} , Π m n = m ∫ f ( v → ) v m v n d 3 v {displaystyle mathrm {Pi _{mn}=m extstyle int f({vec {mathrm {v} }})mathrm {v} _{m}mathrm {v} _{n}d^{3}mathrm {v} } } ,

где

Π m n {displaystyle Pi _{mn}} – количество m {displaystyle mathrm {m} } -й проекции импульса, которое в единицу времени переносится через единицу поверхности в n {displaystyle mathrm {n} } -м направлении.
f ( v → ) {displaystyle mathrm {f({vec {mathrm {v} }})} } – функция распределения частиц по скоростям.

Можно заметить, что половина следа (суммы диагональных компонент) кинетического тензора равна плотности кинетической энергии:

Π 11 + Π 22 + Π 33 2 = m 2 ∫ f ( v → ) ( v 1 2 + v 2 2 + v 3 2 ) d 3 v = ε K ( V ) {displaystyle mathrm {{Pi _{11}+Pi _{22}+Pi _{33} over 2}={m over 2} extstyle int f({vec {mathrm {v} }})(mathrm {v} _{1}^{2}+mathrm {v} _{2}^{2}+mathrm {v} _{3}^{2})d^{3}mathrm {v} =varepsilon _{K}^{(V)}} }

В результате форма записи уравнения движения в традиционном представлении отличается от формы записи уравнений непрерывности:

∂ ρ ∂ t + ∇ ⋅ p → ( V ) = δ ρ δ t {displaystyle mathrm {{partial ho over partial t}+ abla cdot {vec {p}}^{(V)}={delta ho over delta t}} }

и энергии:

∂ ε ( V ) ∂ t + ∇ ⋅ q → − V → ⋅ F → ( V ) = δ ε ( V ) δ t {displaystyle mathrm {{partial varepsilon ^{(V)} over partial t}+ abla cdot {vec {q}}-{vec {V}}cdot {vec {F}}^{(V)}={delta varepsilon ^{(V)} over delta t}} } .

А именно:

∂ p m ( V ) ∂ t + ∑ m n ∂ Π m n ∂ r n − F m ( V ) = δ p m ( V ) δ t {displaystyle mathrm {{partial p_{m}^{(V)} over partial t}+sum _{mn}{partial Pi _{mn} over partial r_{n}}-F_{m}^{(V)}={delta p_{m}^{(V)} over delta t}} }

где:

ρ {displaystyle ho } – плотность массы;
p → ( V ) = ρ V → {displaystyle mathrm {{vec {p}}^{(V)}= ho {vec {V}}} } – плотность потока массы, математически тождественная плотности импульса;
V → {displaystyle mathrm {vec {V}} } – среднемассовая скорость;
ε ( V ) = ε K ( V ) + ρ m ε χ {displaystyle mathrm {varepsilon ^{(V)}=varepsilon _{K}^{(V)}+{ ho over m}varepsilon _{chi }} } – плотность энергии;
q → = m 2 ∫ f ( v → ) v 2 v → d 3 v + ∫ f ( v → ) ε χ v → d 3 v {displaystyle mathrm {mathrm {{vec {q}}={m over 2} extstyle int f({vec {mathrm {v} }})mathrm {v} ^{2}{vec {mathrm {v} }} d^{3}mathrm {v} + extstyle int f({vec {mathrm {v} }})varepsilon _{chi }{vec {mathrm {v} }} d^{3}mathrm {v} } } } – плотность потока энергии;
ε χ {displaystyle varepsilon _{chi }} – внутренняя энергия частицы;
F → ( V ) {displaystyle mathrm {{vec {F}}^{(V)}} } – внешняя сила, действующая на единицу объема газа;
δ δ t {displaystyle mathrm {delta over delta t} } – изменение в единицу времени в результате столкновений (здесь приведены уравнения для компоненты многокомпонентной среды).

Можно заметить три основных неудобства последней записи по сравнению с двумя предыдущими:

громоздкость;
необходимость записи в трех проекциях;
привязанность конкретно к декартовым координатам.

Последнее, например, означает, что в зависимости от системы координат, в которых решается задача, запись уравнения движения в проекциях будет иметь разные формы.

Такими же недостатками обладает и запись кинетического тензора в развернутой форме:

Π m n = ρ V m V n + δ m n P − σ m n I {displaystyle mathrm {Pi _{mn}= ho V_{m}V_{n}+delta _{mn}P-sigma _{mn}^{I}} }

и запись последнего слагаемого в приведенном выражении:

σ m n I = η ( ∂ V m ∂ r n + ∂ V n ∂ r m − 2 3 δ m n ∇ ⋅ V → ) {displaystyle mathrm {sigma _{mn}^{I}=eta {Biggl (}{partial V_{m} over partial r_{n}}+{partial V_{n} over partial r_{m}}-{2 over 3}delta _{mn} abla cdot {vec {V}}{Biggr )}} }

где

P {displaystyle mathrm {P} } – давление;
σ m n I {displaystyle mathrm {sigma _{mn}^{I}} } – компонента тензора вязких напряжений

Наличие названных недостатков скорее всего можно объяснить тем, что кинетика в физике и тензорный анализ в математике – это сравнительно молодые направления в науке, возникшие уже после того, как натурфилософия, фактически, уже разделилась на отдельные отрасли: физику, химию, математику и т.п. В отличие от Эйлера, Гаусса, Стокса физики уже были только физиками, а математики – только математиками.

В результате тензорный анализ в математике, с одной стороны, оказался достаточно отстраненным от проблем современной физики и, с другой стороны, не сформировал еще общепринятой и достаточно компактной символики.

Необходимость выбора

Развитие математического аппарата любой естественной науки часто ставит исследователя перед выбором:

1. Оставаться в кругу уже определенных категорий, правил и символики, за счет громоздкости, необщности и большого количества выражений.

2. Обобщить понятия, упростить и сократить количество выражений за счет введения новых категорий, правил и символики.

Первый выбор оправдан в случае, когда круг объектов с особенными свойствами узок и редко употребляется в соответствующем направлении науки. В противоположном случае, необходимость дополнительных интеллектуальных усилий в течение определенного времени очень скоро окупается экономией времени и средств представления (бумаги, мела, компьютерной памяти) в дальнейшем массированном обращении с соответствующими объектами.

Примером преимущества второго выбора в математике и физике является появление векторного анализа, возникшего ввиду трехмерности геометрического пространства.

Первый выбор – использование категорий исключительно скалярного анализа – требовал бы в данном случае использования трех определений в описании положения объекта – различных в различных системах координат (декартовой, цилиндрической или сферической), трех определений в описании изменения положения во времени. При этом использование исключительно скалярной символики означало бы разные правила дифференцирования характеристик положения по времени для получения соответствующих характеристик изменения положения. В каждой задаче вместо одного уравнения движения необходимо было бы записывать три, строго оговаривая при этом систему координат, в которой справедлива такая запись. Точно так же пришлось бы поступать в выражениях для связи потенциальной энергии и силы, характеристик электромагнитного поля и движения частиц и т.п.

Второй выбор – введение понятия вектора – означает необходимость усвоения немногих новых определений: вектор, скалярное произведение, векторное произведение и т.п., но легко окупается следующими выгодами:

- вектор сохраняет свою целостность в любой системе координат, в то время как значения проекций меняются;

- правила преобразования положения в скорость, скорости в ускорение как векторов, связь между скоростью и импульсом, характеристиками поля и силой как между векторами сохраняются в различных системах координат.

Наиболее существенную новизну сравнительно со скалярным анализом представляет здесь само понятие вектора – нужно просто привыкнуть к тому, что в геометрии и математике одна величина может характеризоваться не одним, а тремя числами – по числу пространственных измерений в нашей Вселенной. В операциях с кинетическим тензором мы сталкиваемся с названной выше необходимостью выбора – по-прежнему оперировать объектами двух типов (векторами и скалярами), описывая перенос импульса девятью скалярами или тремя векторами (со всеми издержками, названными выше) или ввести понятие и правила операций с новыми объектами, характеризующимися девятью числами. Массовость обращений к переносу импульса в механике сплошной среды скорее располагает ко второму выбору. Кроме того, есть соображения, по которым оптимальным здесь становится не просто определение нового класса объектов, но введение некоего "над-класса", к которому равно относятся и скаляры, и векторы и вновь вводимые объекты. Таким "над-классом" в математике и физике являются тензоры соответствующих рангов.

Понятие тензора определенного ранга

В нашем случае тензоры являются математическим представлением конкретных физических величин, но не операторами в матричном анализе. Предлагаемая символика и правила относятся именно к такому случаю и не обязательно полностью соответствуют символике матричного анализа.

Тензором определенного ранга M {displaystyle mathrm {M} } в I {displaystyle mathrm {I} } -мерном пространстве называют величину, которая полностью описывается I M {displaystyle mathrm {I^{M}} } числами – элементами тензора. Предметом механики сплошной среды является обычное трехмерное пространство ( I = 3 {displaystyle mathrm {I=3} } ), поэтому в дальнейшем мы и будем говорить только о нем. Таким образом, в нашем случае тензором ранга M {displaystyle mathrm {M} } является величина, которая полностью описывается 3 M {displaystyle mathrm {3^{M}} } элементами.

В таком случае:

скаляр, имеющий один элемент, есть тензор нулевого ранга;
вектор, имеющий три элемента, есть тензор первого ранга.

Появление нового класса объектов требует новой символики. А именно:

единственный элемент, из которого состоит скаляр Φ {displaystyle Phi } , не требует индекса в записи значения;
каждый из трех элементов A m {displaystyle mathrm {A_{m}} } вектора A → {displaystyle mathrm {vec {A}} } обозначается индексом m {displaystyle mathrm {m} } , изменяющимся от 1 до 3 – соответственно числу измерений геометрического пространства;
каждый из 3 M {displaystyle mathrm {3^{M}} } элементов A ( m 1 m 2 m 3 . . . m M − 1 m M ) {displaystyle mathrm {A^{(m_{1}m_{2}m_{3}...m_{M-1}m_{M})}} } тензора M {displaystyle mathrm {M} } -го ранга A {displaystyle mathbf {A} } обозначается M {displaystyle mathrm {M} } индексами m 1 m 2 m 3 . . . m M − 1 m M {displaystyle mathrm {m_{1}m_{2}m_{3}...m_{M-1}m_{M}} } , изменяющимися от 1 до 3 – в дальнейшем для краткости вместо m 1 m 2 m 3 . . . m M − 1 m M {displaystyle mathrm {m_{1}m_{2}m_{3}...m_{M-1}m_{M}} } будем писать m 1 . . . m M {displaystyle mathrm {m_{1}...m_{M}} } .

В тензорном анализе, так же, как и в векторном, важным является понятие базиса, основанное на определении единичного тензора.

Единичным тензором M {displaystyle mathrm {M} } -го ранга есть тензор e ( m 1 . . . m M ) {displaystyle mathrm {e^{(m_{1}...m_{M})}} } , в котором равны нулю все элементы, кроме равного единице m 1 . . . m M {displaystyle mathrm {m_{1}...m_{M}} } -го элемента.

В таком случае:

e ( ) {displaystyle e^{( )}} : единичный тензор нулевого ранга есть единица (единичный скаляр);
e ( m ) = i m {displaystyle mathrm {e^{(m)}=i_{m}} } : единичный тензор первого ранга есть орта (единичный вектор).

Операции с тензорами

Для облегчения восприятия правила операций с тензорами покажем сравнительно с правилами аналогичных операций с векторами.

Правило 1. Сложение тензоров и умножение тензора на скаляр

Вектор D → {displaystyle mathrm {vec {D}} } равен сумме векторов A → {displaystyle mathrm {vec {A}} } и B → {displaystyle mathrm {vec {B}} } , если элемент вектора D → {displaystyle mathrm {vec {D}} } равен сумме соответствующих элементов векторов A → {displaystyle mathrm {vec {A}} } и B → {displaystyle mathrm {vec {B}} } :

1.1. D → = A → + B → {displaystyle mathrm {{vec {D}}={vec {A}}+{vec {B}}} } ⟶ {displaystyle longrightarrow } D m = A m + B m {displaystyle mathrm {D_{m}=A_{m}+B_{m}} } .

Прямым следствием правила сложения векторов является правило умножения вектора на скаляр: вектор D → {displaystyle mathrm {vec {D}} } равен произведению вектора A → {displaystyle mathrm {vec {A}} } и скаляра C {displaystyle mathrm {C} } , если элемент вектора D → {displaystyle mathrm {vec {D}} } равен произведению соответствующего элемента вектора A → {displaystyle mathrm {vec {A}} } и скаляра C {displaystyle mathrm {C} } :

1.2. D → = C A → {displaystyle mathrm {{vec {D}}=C {vec {A}}} } ⟶ {displaystyle longrightarrow } D m = C A m {displaystyle mathrm {D_{m}=C A_{m}} } .

Тензор M {displaystyle mathrm {M} } -го ранга D {displaystyle mathbf {D} } равен сумме тензоров такого же ранга A {displaystyle mathbf {A} } и B {displaystyle mathbf {B} } , если элемент тензора D {displaystyle mathbf {D} } равен сумме соответствующих элементов тензоров A {displaystyle mathbf {A} } и B {displaystyle mathbf {B} } :

1.3. D = A + B {displaystyle mathbf {D} =mathbf {A} +mathbf {B} } ⟶ {displaystyle longrightarrow } D ( m 1 . . . m M ) = A ( m 1 . . . m M ) + B ( m 1 . . . m M ) {displaystyle mathrm {D^{(m_{1}...m_{M})}=A^{(m_{1}...m_{M})}+B^{(m_{1}...m_{M})}} } .

Прямым следствием правила сложения тензоров является правило умножения тензора на скаляр: тензор D {displaystyle mathbf {D} } равен произведению тензора A {displaystyle mathbf {A} } и скаляра C {displaystyle mathrm {C} } , если элемент тензора D {displaystyle mathbf {D} } равен произведению соответствующего элемента тензора A {displaystyle mathbf {A} } и скаляра C {displaystyle mathrm {C} } :

1.4. D = C A {displaystyle mathrm {mathbf {D} =C mathbf {A} } } ⟶ {displaystyle longrightarrow } D ( m 1 . . . m M ) = C A ( m 1 . . . m M ) {displaystyle mathrm {D^{(m_{1}...m_{M})}=C A^{(m_{1}...m_{M})}} } .

Правило 2. Запись тензоров как суммы элементов

Вектор A → {displaystyle mathrm {vec {A}} } может быть представлен как векторная сумма элементов с использованием орт:

1.5. A → = ∑ m i m A m {displaystyle mathrm {{vec {A}}=sum _{m}i_{m}A_{m}} } .

При этом нет смысла говорить о результате произведения i m A m {displaystyle mathrm {i_{m}A_{m}} } – единственный смысл записи i m A m {displaystyle mathrm {i_{m}A_{m}} } состоит в указании, что величине A m {displaystyle mathrm {A_{m}} } равен именно m {displaystyle mathrm {m} } -й элемент вектора .

Тензор M {displaystyle mathrm {M} } -го ранга A {displaystyle mathbf {A} } может быть представлен как тензорная сумма элементов с использованием единичных тензоров:

1.6. A = ∑ m 1 . . . m M e ( m 1 . . . m M ) A ( m 1 . . . m M ) {displaystyle mathrm {mathbf {A} =sum _{m_{1}...m_{M}}e^{(m_{1}...m_{M})}A^{(m_{1}...m_{M})}} } .

При этом нет смысла говорить о результате произведения e ( m 1 . . . m M ) A ( m 1 . . . m M ) {displaystyle mathrm {e^{(m_{1}...m_{M})}A^{(m_{1}...m_{M})}} } – единственный смысл записи e ( m 1 . . . m M ) A ( m 1 . . . m M ) {displaystyle mathrm {e^{(m_{1}...m_{M})}A^{(m_{1}...m_{M})}} } состоит в указании, что величине A ( m 1 . . . m M ) {displaystyle mathrm {A^{(m_{1}...m_{M})}} } равен именно m 1 . . . m M {displaystyle mathrm {m_{1}...m_{M}} } -й элемент тензора A {displaystyle mathbf {A} } .

Правило 3. Инвариантность произведения скаляра и единичного тензора

"Результат" произведения скаляра и орты не зависит от последовательности сомножителей:

1.7. i m A m = A m i m {displaystyle mathrm {i_{m}A_{m}=A_{m}i_{m}} } .

"Результат" произведения скаляра и единичного тензора не зависит от последовательности сомножителей:

1.8. e ( m 1 . . . m M ) A ( m 1 . . . m M ) = A ( m 1 . . . m M ) e ( m 1 . . . m M ) {displaystyle mathrm {e^{(m_{1}...m_{M})}A^{(m_{1}...m_{M})}=A^{(m_{1}...m_{M})}e^{(m_{1}...m_{M})}} } .

Правило 4. Тензорное произведение и представление единичных тензоров через орты

Внимание !!! Правило 4 является, фактически, единственным новым правилом тензорного анализа, не представленным в векторном анализе.

Тензорным произведением тензора M {displaystyle mathrm {M} } -го ранга A {displaystyle mathbf {A} } и тензора N {displaystyle mathrm {N} } -го ранга B {displaystyle mathbf {B} } является тензор M + N {displaystyle mathrm {M+N} } -го ранга D {displaystyle mathbf {D} } , если m 1 . . . m M n 1 . . . n N {displaystyle mathrm {m_{1}...m_{M}n_{1}...n_{N}} } -й элемент тензора D {displaystyle mathbf {D} } равен произведению m 1 . . . m M {displaystyle mathrm {m_{1}...m_{M}} } -го элемента тензора A {displaystyle mathbf {A} } и n 1 . . . n N {displaystyle mathrm {n_{1}...n_{N}} } -го элемента тензора B {displaystyle mathbf {B} } :

1.9. D = A B {displaystyle mathbf {D} =mathbf {A} mathbf {B} } ⟶ {displaystyle longrightarrow } D ( m 1 . . . m M n 1 . . . n N ) = A ( m 1 . . . m M ) B ( n 1 . . . n N ) {displaystyle mathrm {D^{(m_{1}...m_{M}n_{1}...n_{N})}=A^{(m_{1}...m_{M})}B^{(n_{1}...n_{N})}} } .

Таким образом, тензорное скаляра и тензора произвольного ранга есть, фактически, "простое" произведение скаляра на тензор (1.4).

С учетом (9) единичный тензор M {displaystyle mathrm {M} } -го ранга может быть представлен как кратное тензорное произведение орт:

1.10. e ( m 1 . . . m M ) = i m 1 . . . i m M {displaystyle mathrm {e^{(m_{1}...m_{M})}=i_{m_{1}}...i_{m_{M}}} } .

Выражения (1.6) и (1.8) с использованием (1.10) можно записать так:

1.11, A = ∑ m 1 . . . m M i m 1 . . . i m M A ( m 1 . . . m M ) {displaystyle mathrm {mathbf {A} =sum _{m_{1}...m_{M}}i_{m_{1}}...i_{m_{M}}A^{(m_{1}...m_{M})}} } ,

1.12. i m 1 . . . i m M A ( m 1 . . . m M ) = i m 1 . . . i m i A ( m 1 . . . m M ) i m i + 1 . . . i m M {displaystyle mathrm {i_{m_{1}}...i_{m_{M}}A^{(m_{1}...m_{M})}=i_{m_{1}}...i_{m_{i}}A^{(m_{1}...m_{M})}i_{m_{i+1}}...i_{m_{M}}} } .

В дальнейшем вместо (1.6) можно использовать запись (1.11) как более удобную в случаях, которые будут названы ниже.

Правило 5. Произведение тензоров

Существуют три вида произведений тензоров: тензорное, векторное и скалярное. Каждому из произведений соответствует знак: пробел в тензорном, крестик в векторном и точка в скалярном. Кроме того, удобно использование обобщенного знака произведения " ∘ {displaystyle circ } ", соответствующего трем различным случаям:

1.13. ∘ = ( {displaystyle circ ={igl (}} " ", " × ", " · " ) {displaystyle {igr )}} .

Правило 5 является прямым следствием (1.11) и (1.12) – скаляры в произведениях можно произвольно перемещать относительно знаков произведений – знак произведения тензоров фактически относится к ближайшим ортам:

1.14. A → ∘ B → = ∑ m n ( i m A m ) ∘ ( i n B n ) = ∑ m n ( i m ∘ i n ) A m B n = ∑ m n A m B n ( i m ∘ i n ) {displaystyle mathrm {{vec {A}}circ {vec {B}}=sum _{mn}{igl (}i_{m}A_{m}{igr )}circ {igl (}i_{n}B_{n}{igr )}=sum _{mn}{igl (}i_{m}circ i_{n}{igr )}A_{m}B_{n}=sum _{mn}A_{m}B_{n}{igl (}i_{m}circ i_{n}{igr )}} } ,

1.15. A ∘ B = ∑ m 1 . . . m M n 1 . . . n N ( i m 1 . . . i m M A ( m 1 . . . m M ) ) ∘ ( i n 1 . . . i n N B ( n 1 . . . n N ) ) = {displaystyle mathrm {mathbf {A} circ mathbf {B} =sum _{egin{matrix}m_{1}...m_{M}n_{1}...n_{N}end{matrix}}{igl (}i_{m_{1}}...i_{m_{M}}A^{(m_{1}...m_{M})}{igr )}circ {igl (}i_{n_{1}}...i_{n_{N}}B^{(n_{1}...n_{N})}{igr )}=} }

= ∑ m 1 . . . m M n 1 . . . n N i m 1 . . . i m M − 1 A ( m 1 . . . m M ) ( i m M ∘ i n 1 ) i n 2 . . . i n N B ( n 1 . . . n N ) = {displaystyle mathrm {=sum _{egin{matrix}m_{1}...m_{M}n_{1}...n_{N}end{matrix}}i_{m_{1}}...i_{m_{M-1}}A^{(m_{1}...m_{M})}{igl (}i_{m_{M}}circ i_{n_{1}}{igr )}i_{n_{2}}...i_{n_{N}}B^{(n_{1}...n_{N})}=} }

= ∑ m 1 . . . m M n 1 . . . n N A ( m 1 . . . m M ) B ( n 1 . . . n N ) i m 1 . . . i m M − 1 ( i m M ∘ i n 1 ) i n 2 . . . i n N {displaystyle mathrm {=sum _{egin{matrix}m_{1}...m_{M}n_{1}...n_{N}end{matrix}}A^{(m_{1}...m_{M})}B^{(n_{1}...n_{N})}i_{m_{1}}...i_{m_{M-1}}{igl (}i_{m_{M}}circ i_{n_{1}}{igr )}i_{n_{2}}...i_{n_{N}}} } .

Правило 6. Произведение орт

Тензорное, векторное и скалярное произведение орт имеют следующие значения:

1.16. i m i n = e ( m n ) {displaystyle mathrm {i_{m}i_{n}=e^{(mn)}} } ,

1.17. i m × i m = 0 {displaystyle mathrm {i_{m} imes i_{m}=0} } ,

i 1 × i 2 = − i 2 × i 1 = i 3 {displaystyle mathrm {i_{1} imes i_{2}=-i_{2} imes i_{1}=i_{3}} } ,

− i 1 × i 3 = i 3 × i 1 = i 2 {displaystyle mathrm {-i_{1} imes i_{3}=i_{3} imes i_{1}=i_{2}} } ,

i 2 × i 3 = − i 3 × i 2 = i 1 {displaystyle mathrm {i_{2} imes i_{3}=-i_{3} imes i_{2}=i_{1}} } ,

1.18. i m ⋅ i n = δ m n {displaystyle mathrm {i_{m}cdot i_{n}=delta _{mn}} } ,

где δ m n {displaystyle mathrm {delta _{mn}} } – символ Кронекера:

1.19. δ m n = { 1 , m = n 0 , m ≠ n {displaystyle mathrm {delta _{mn}=left{{egin{matrix}1,&mathrm {m=n} ,&mathrm {m eq n} end{matrix}} ight.} } .

Правило 7. Извлечение элемента из вектора и тензора

Произвольный вектор A → {displaystyle mathrm {vec {A}} } в различных выражениях может встречаться не в прямой записи (1.5), а как результат операций с другими векторами или скалярами. При необходимости "извлечения" конкретной проекции вектора A → {displaystyle mathrm {vec {A}} } из такой записи можно на основании (1.5) и (1.18) использовать операцию:

1.20. A m = i m ⋅ A → = A → ⋅ i m {displaystyle mathrm {A_{m}=i_{m}cdot {vec {A}}={vec {A}}cdot i_{m}} }

Аналогично, на основании (11) и (18) можно записать для элемента тензора ранга выше нулевого:

1.21. A ( m 1 . . . m M ) = i m M ⋅ ( . . . ⋅ ( i m 1 ⋅ A ) ) = ( ( A ⋅ i m M ) ⋅ . . . ) ⋅ i m 1 {displaystyle mathrm {A^{(m_{1}...m_{M})}=i_{m_{M}}cdot {Bigl (}...cdot {Bigl (}i_{m_{1}}cdot mathbf {A} {Bigr )}{Bigr )}={Bigl (}{Bigl (}mathbf {A} cdot i_{m_{M}}{Bigr )}cdot ...{Bigr )}cdot i_{m_{1}}} } .

Дифференциальные операторы в применении к тензорам

Правило 8. Операторы Гамильтона и Лапласа

Любой из трех знаков (1.13) может использоваться не только в произведениях, но и в обозначениях действия оператора Гамильтона ∇ {displaystyle abla } , имеющего, как известно, запись:

1.22. ∇ = ∑ n i n ∂ ∂ r n {displaystyle mathrm { abla =sum _{n}i_{n}{partial over partial r_{n}}} } .

Результатом тензорного действия оператора ∇ {displaystyle abla } является градиент, векторного – ротор, скалярного – дивергенция. К сожалению, в большинстве источников отсутствуют общие правила развернутой записи результатов действия оператора ∇ {displaystyle abla } в произвольной (не декартовой) системе координат. Приводятся общие записи в декартовой системе – единственной системе координат с неизменными ортами, а также частные случаи записи для наиболее часто используемых ортогональных криволинейный координат – сферических, цилиндрических.

Правильные результаты в использовании оператора можно, однако, получить, распространив Правило 5 на скалярные дифференциальные операторы – скалярные дифференциальные операторы в произведениях можно произвольно перемещать относительно знаков произведений:

1.23. ∇ ∘ = ( ∑ n i n ∂ ∂ r n ) ∘ = ∑ n i n ∘ ∂ ∂ r n {displaystyle mathrm { abla circ ={iggl (}sum _{n}i_{n}{partial over partial r_{n}}{iggr )}circ =sum _{n}i_{n}circ {partial over partial r_{n}}} } .

Таким образом, имеем:

градиент скаляра:

1.24. ∇ Φ = ∑ n i n ∂ Φ ∂ r n {displaystyle mathrm { abla Phi =sum _{n}i_{n}{partial Phi over partial r_{n}}} } ;

ротор вектора:

1.25. ∇ × A → = ∑ n i n × ∂ A → ∂ r n = ∑ n m i n × ∂ ∂ r n ( i m A m ) = ∑ n m ( i n × i m ∂ A m ∂ r n + i n × ∂ i m ∂ r n A m ) {displaystyle mathrm { abla imes {vec {A}}=sum _{n}i_{n} imes {partial {vec {A}} over partial r_{n}}=sum _{nm}i_{n} imes {partial over partial r_{n}}{igl (}i_{m}A_{m}{igr )}=sum _{nm}{iggl (}i_{n} imes i_{m}{partial A_{m} over partial r_{n}}+i_{n} imes {partial i_{m} over partial r_{n}}A_{m}{iggr )}} } ;

дивергенция вектора:

1.26. ∇ ⋅ A → = ∑ n i n ⋅ ∂ A → ∂ r n = ∑ n m i n ⋅ ∂ ∂ r n ( i m A m ) = ∑ n m ( i n ⋅ i m ∂ A m ∂ r n + i n ⋅ ∂ i m ∂ r n A m ) {displaystyle mathrm { abla cdot {vec {A}}=sum _{n}i_{n}cdot {partial {vec {A}} over partial r_{n}}=sum _{nm}i_{n}cdot {partial over partial r_{n}}{igl (}i_{m}A_{m}{igr )}=sum _{nm}{iggl (}i_{n}cdot i_{m}{partial A_{m} over partial r_{n}}+i_{n}cdot {partial i_{m} over partial r_{n}}A_{m}{iggr )}} } .

Аналогично (1.24) – (1.26) правило (1.23) в применении к тензору дает:

градиент тензора произвольного ранга:

1.27. ∇ A = ∑ n i n ∂ A ∂ r n = ∑ n m 1 . . . m M i n ∂ ∂ r n ( i m 1 . . . i m M A ( m 1 . . . m M ) ) = {displaystyle mathrm { abla mathbf {A} =sum _{n}i_{n}{partial mathbf {A} over partial r_{n}}=sum _{egin{matrix}nmathrm {m_{1}...m_{M}} end{matrix}}i_{n}{partial over partial r_{n}}{iggl (}i_{m_{1}}...i_{m_{M}}A^{(m_{1}...m_{M})}{iggr )}=} }

= ∑ n m 1 . . . m M ( i n i m 1 . . . i m M ∂ A ( m 1 . . . m M ) ∂ r n + i n ∂ ∂ r n ( i m 1 . . . i m M ) A ( m 1 . . . m M ) ) {displaystyle mathrm {=sum _{egin{matrix}nmathrm {m_{1}...m_{M}} end{matrix}}{iggl (}i_{n}i_{m_{1}}...i_{m_{M}}{partial A^{(m_{1}...m_{M})} over partial r_{n}}+i_{n}{partial over partial r_{n}}(i_{m_{1}}...i_{m_{M}})A^{(m_{1}...m_{M})}{iggr )}} } ;

ротор тензора ранга выше нулевого:

1.28. ∇ × A = ∑ n i n × ∂ A ∂ r n = ∑ n m 1 . . . m M i n × ∂ ∂ r n ( i m 1 . . . i m M A ( m 1 . . . m M ) ) = {displaystyle mathrm { abla imes mathbf {A} =sum _{n}i_{n} imes {partial mathbf {A} over partial r_{n}}=sum _{egin{matrix}nmathrm {m_{1}...m_{M}} end{matrix}}i_{n} imes {partial over partial r_{n}}{iggl (}i_{m_{1}}...i_{m_{M}}A^{(m_{1}...m_{M})}{iggr )}=} }

= ∑ n m 1 . . . m M ( i n × i m 1 . . . i m M ∂ A ( m 1 . . . m M ) ∂ r n + i n × ∂ ∂ r n ( i m 1 . . . i m M ) A ( m 1 . . . m M ) ) {displaystyle mathrm {=sum _{egin{matrix}nmathrm {m_{1}...m_{M}} end{matrix}}{iggl (}i_{n} imes i_{m_{1}}...i_{m_{M}}{partial A^{(m_{1}...m_{M})} over partial r_{n}}+i_{n} imes {partial over partial r_{n}}(i_{m_{1}}...i_{m_{M}})A^{(m_{1}...m_{M})}{iggr )}} } ;

дивергенция тензора ранга выше нулевого:

1.29. ∇ ⋅ A = ∑ n i n ⋅ ∂ A ∂ r n = ∑ n m 1 . . . m M i n ⋅ ∂ ∂ r n ( i m 1 . . . i m M A ( m 1 . . . m M ) ) = {displaystyle mathrm { abla cdot mathbf {A} =sum _{n}i_{n}cdot {partial mathbf {A} over partial r_{n}}=sum _{egin{matrix}nmathrm {m_{1}...m_{M}} end{matrix}}i_{n}cdot {partial over partial r_{n}}{iggl (}i_{m_{1}}...i_{m_{M}}A^{(m_{1}...m_{M})}{iggr )}=} }

= ∑ n m 1 . . . m M ( i n ⋅ i m 1 . . . i m M ∂ A ( m 1 . . . m M ) ∂ r n + i n ⋅ ∂ ∂ r n ( i m 1 . . . i m M ) A ( m 1 . . . m M ) ) {displaystyle mathrm {=sum _{egin{matrix}nmathrm {m_{1}...m_{M}} end{matrix}}{iggl (}i_{n}cdot i_{m_{1}}...i_{m_{M}}{partial A^{(m_{1}...m_{M})} over partial r_{n}}+i_{n}cdot {partial over partial r_{n}}(i_{m_{1}}...i_{m_{M}})A^{(m_{1}...m_{M})}{iggr )}} } .

Обобщенно выражения (1.27) – (1.29) можно записать так:

1.30. ∇ ∘ A = ∑ n i n ∘ ∂ A ∂ r n = ∑ n m 1 . . . m M i n ∘ ( ∂ ∂ r n i m 1 . . . i m M A ( m 1 . . . m M ) ) = {displaystyle mathrm { abla circ mathbf {A} =sum _{n}i_{n}circ {partial mathbf {A} over partial r_{n}}=sum _{egin{matrix}nmathrm {m_{1}...m_{M}} end{matrix}}i_{n}circ {iggl (}{partial over partial r_{n}}i_{m_{1}}...i_{m_{M}}A^{(m_{1}...m_{M})}{iggr )}=} }

= ∑ n m 1 . . . m M ( i n ∘ i m 1 . . . i m M ∂ A ( m 1 . . . m M ) ∂ r n + i n ∘ ∂ ∂ r n ( i m 1 . . . i m M ) A ( m 1 . . . m M ) ) {displaystyle mathrm {=sum _{egin{matrix}nmathrm {m_{1}...m_{M}} end{matrix}}{iggl (}i_{n}circ i_{m_{1}}...i_{m_{M}}{partial A^{(m_{1}...m_{M})} over partial r_{n}}+i_{n}circ {partial over partial r_{n}}(i_{m_{1}}...i_{m_{M}})A^{(m_{1}...m_{M})}{iggr )}} } .

Правила дифференцирования производных орт в (1.27) – (1.30) аналогичны правилам дифференцирования произведений скаляров:

1.31. ∂ ∂ r n ( i m 1 . . . i m M ) = ∂ i m 1 ∂ r n ( i m 2 . . . i m M ) + i m 1 ∂ i m 2 ∂ r n ( i m 3 . . . i m M ) + i m 1 i m 2 ∂ i m 3 ∂ r n ( i m 4 . . . i m M ) + . . . {displaystyle mathrm {{partial over partial r_{n}}{iggl (}i_{m_{1}}...i_{m_{M}}{iggr )}={partial i_{m_{1}} over partial r_{n}}{iggl (}i_{m_{2}}...i_{m_{M}}{iggr )}+i_{m_{1}}{partial i_{m_{2}} over partial r_{n}}{iggl (}i_{m_{3}}...i_{m_{M}}{iggr )}+i_{m_{1}}i_{m_{2}}{partial i_{m_{3}} over partial r_{n}}{iggl (}i_{m_{4}}...i_{m_{M}}{iggr )}+...} }

При этом конкретная система координат представлена просто набором значений производных орт по проекциям координаты ∂ i m ∂ r n {displaystyle mathrm {partial i_{m} over partial r_{n}} } .

В тензорном анализе, как и в векторном, используется также оператор Лапласа Δ {displaystyle Delta } :

1.32. Δ = ∇ 2 = ∇ ⋅ ∇ {displaystyle Delta = abla ^{2}= abla cdot abla } .

Результат действия оператора Δ {displaystyle Delta } на произвольный тензор в произвольной ортогональной системе координат можно получить с использованием тех же, что и выше, правил:

1.33. Δ A = ∑ m n i m ⋅ ∂ ∂ r m ( i n ∂ A ∂ r n ) = ∑ m ( ∂ 2 A ∂ r m 2 + ( ∑ n i m ⋅ ∂ i n ∂ r m ) ∂ A ∂ r n ) {displaystyle mathrm {Delta mathbf {A} =sum _{mn}i_{m}cdot {partial over partial r_{m}}{iggl (}i_{n}{partial mathbf {A} over partial r_{n}}{iggr )}=sum _{m}{iggl (}{partial ^{2}mathbf {A} over partial r_{m}^{2}}+{iggl (}sum _{n}i_{m}cdot {partial i_{n} over partial r_{m}}{Biggr )}{partial mathbf {A} over partial r_{n}}{Biggr )}} } .

Некоторые характеристики тензоров второго ранга

Представление тензора как матрицы

Тензор A {displaystyle mathbf {A} } второго ранга может быть представлен как матрица:

1.34. A = A ( 11 ) A ( 12 ) A ( 13 ) A ( 21 ) A ( 22 ) A ( 23 ) A ( 31 ) A ( 32 ) A ( 33 ) {displaystyle mathrm {mathbf {A} ={egin{array}{|ccc|}A^{(11)}&A^{(12)}&A^{(13)}A^{(21)}&A^{(22)}&A^{(23)}A^{(31)}&A^{(32)}&A^{(33)}end{array}}} } .

След тензора второго ранга

Следом T r A {displaystyle mathrm {Trmathbf {A} } } тензора второго ранга A {displaystyle mathbf {A} } называют сумму его диагональных элементов:

1.35. T r A = ∑ n A ( n n ) = A ( 11 ) + A ( 22 ) + A ( 33 ) {displaystyle mathrm {Trmathbf {A} =sum _{n}A^{(nn)}=A^{(11)}+A^{(22)}+A^{(33)}} } .

Сопряженный тензор

Тензор A ∗ {displaystyle mathbf {A} ^{*}} называют сопряженным тензору A {displaystyle mathbf {A} } , если элементы тензора A ∗ {displaystyle mathbf {A} ^{*}} получаются перестановкой индексов элементов тензора A {displaystyle mathbf {A} } :

1.36. B = A ∗ {displaystyle mathbf {B} =mathbf {A} ^{*}} ⟶ {displaystyle longrightarrow } B ( m n ) = A ( n m ) {displaystyle mathrm {B^{(mn)}=A^{(nm)}} } .

Можно заметить, что:

1.37. ( A ∗ ) ∗ ≡ A {displaystyle (mathbf {A} ^{*})^{*}equiv mathbf {A} } .

Симметричный тензор

Тензор A {displaystyle mathbf {A} } называют симметричным, если его элементы, симметричные относительно главной диагонали, равны друг другу:

1.38. A = A ∗ {displaystyle mathbf {A} =mathbf {A} ^{*}} ⟶ {displaystyle longrightarrow } A ( m n ) = A ( n m ) {displaystyle mathrm {A^{(mn)}=A^{(nm)}} } .

Унитарный тензор

Унитарный тензор δ {displaystyle mathbf {oldsymbol {delta }} } есть тензор второго ранга, недиагональные элементы которого равны нулю, а диагональные – единице:

1.39. δ ( m n ) = δ m n {displaystyle mathrm {delta ^{(mn)}=delta _{mn}} } ⟶ {displaystyle longrightarrow } δ = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 = ∑ m n i m i n δ m n = ∑ n i n i n {displaystyle mathrm {mathbf {oldsymbol {delta }} ={egin{array}{|ccc|}1&0&0&1&0&0&1end{array}}=sum _{mn}i_{m}i_{n}delta _{mn}=sum _{n}i_{n}i_{n}} } .

Можно показать следующие свойства унитарного тензора:

1.40. δ ⋅ A = A {displaystyle mathbf {oldsymbol {delta }} cdot mathbf {A} =mathbf {A} } ,

1.41. ∇ ⋅ ( δ A ) = ∇ A {displaystyle abla cdot {igl (}mathbf {oldsymbol {delta }} mathbf {A} {igr )}= abla mathbf {A} } ,

1.42. ∇ ⋅ ( δ ⋅ A ) = ∇ ⋅ A {displaystyle abla cdot {igl (}mathbf {oldsymbol {delta }} cdot mathbf {A} {igr )}= abla mathbf {cdot } {A}} ,

1.43. ∇ ⋅ ( A → δ ) = δ ∇ ⋅ A → {displaystyle abla cdot {igl (}{vec {A}} mathbf {oldsymbol {delta }} {igr )}=mathbf {oldsymbol {delta }} abla cdot {vec {A}}} ,

1.44. ∇ ⋅ ( δ A → δ ) = ( ∇ A → ) ∗ {displaystyle abla cdot {igl (}{scriptstyle mathbf {oldsymbol {delta }} }{vec {A}}{scriptstyle mathbf {oldsymbol {delta }} }{igr )}={igl (} abla {vec {A}}{igr )}^{*}} ,

где тензор, сопряженный градиенту вектора A → {displaystyle mathrm {vec {A}} } :

1.45. ( ∇ A → ) ∗ = ∑ n ∂ A → ∂ r n i n {displaystyle mathrm {{igl (} abla {vec {A}}{igr )}^{*}=sum _{n}{partial {vec {A}} over partial r_{n}}i_{n}} }

и внутреннее произведение унитарного тензора и вектора A → {displaystyle {vec {A}}} :

1.46. δ A → δ = ∑ n i n A → i n {displaystyle mathrm {{scriptstyle mathbf {oldsymbol {delta }} }{vec {A}}{scriptstyle mathbf {oldsymbol {delta }} }=sum _{n}i_{n}{vec {A}} i_{n}} } .

Симметричные тензоры. Операция симметрии

Тензор A {displaystyle mathbf {A} } произвольного ранга является симметричным, если перестановка любой пары индексов не изменяет значение компоненты тензора, например:

- для симметричных тензоров 2-го ранга:

1.47. A ( m n ) = A ( n m ) {displaystyle mathrm {A^{(mn)}=A^{(nm)}} } ;

- для симметричных тензоров 3-го ранга:

1.48. A ( k m n ) = A ( k n m ) = A ( m k n ) = A ( m n k ) = A ( n k m ) = A ( n m k ) {displaystyle mathrm {A^{(kmn)}=A^{(knm)}=A^{(mkn)}=A^{(mnk)}=A^{(nkm)}=A^{(nmk)}} } ;

- для симметричных тензоров 4-го ранга:

1.49. A ( i k m n ) = A ( i k n m ) = A ( i m k n ) = A ( i m n k ) = A ( i n k m ) = A ( i n m k ) = {displaystyle mathrm {A^{(ikmn)}=A^{(iknm)}=A^{(imkn)}=A^{(imnk)}=A^{(inkm)}=A^{(inmk)}=} }

A ( i k m n ) = A ( k i n m ) = A ( m i k n ) = A ( m i n k ) = A ( n i k m ) = A ( n i m k ) = {displaystyle mathrm {A^{(ikmn)}=A^{(kinm)}=A^{(mikn)}=A^{(mink)}=A^{(nikm)}=A^{(nimk)}=} }

A ( i k m n ) = A ( k n i m ) = A ( m k i n ) = A ( m n i k ) = A ( n k i m ) = A ( n m i k ) = {displaystyle mathrm {A^{(ikmn)}=A^{(knim)}=A^{(mkin)}=A^{(mnik)}=A^{(nkim)}=A^{(nmik)}=} }

A ( k m n i ) = A ( k n m i ) = A ( m k n i ) = A ( m n k i ) = A ( n k m i ) = A ( n m k i ) {displaystyle mathrm {A^{(kmni)}=A^{(knmi)}=A^{(mkni)}=A^{(mnki)}=A^{(nkmi)}=A^{(nmki)}} }

и так далее.

Можно заметить, что число независимых комбинаций индексов для тензора n {displaystyle mathrm {n} } -го ранга равно n ! {displaystyle mathrm {n!} } .

Любой тензор A [ n ] {displaystyle mathrm {mathbf {A} ^{[n]}} } произвольного ранга n {displaystyle n} может быть преобразован в симметричный тензор с помощью операции симметрии:

1.50. ⌊ A [ n ] ⌋ = 1 n ! ∑ A [ n ] ∗ {displaystyle mathrm {{igl lfloor }mathbf {A} ^{[n]}{igr floor }={1 over n!}sum mathbf {A} ^{[n]*}} } ,

где ∑ A [ n ] ∗ {displaystyle mathrm {sum mathbf {A} ^{[n]*}} } – сумма исходного тензора A [ n ] {displaystyle mathrm {mathbf {A} ^{[n]}} } и всех тензоров, получаемых путем перестановки индексов его компонент аналогично (1.47) – (1.49).

Можно заметить, что если исходный тензор A [ n ] {displaystyle mathrm {mathbf {A} ^{[n]}} } уже является симметричным, имеет место ⌊ A [ n ] ⌋ = A [ n ] {displaystyle mathrm {{igl lfloor }mathbf {A} ^{[n]}{igr floor }=mathbf {A} ^{[n]}} } .

Тензорная степень вектора. Бином и дифференциал тензорной степени вектора

Тензор A [ n ] {displaystyle mathrm {mathbf {A} ^{[n]}} } произвольного ранга n {displaystyle mathrm {n} } может быть результатом кратного тензорного произведения одного и того же вектора a → {displaystyle mathrm {vec {a}} } :

1.51. A [ n ] = a → a → . . . a → ⏟ n {displaystyle mathrm {mathbf {A} ^{[n]}=underbrace {{vec {a}} {vec {a}}...{vec {a}}} _{n}} } .

Для краткости можно использовать символ тензорной степени вектора (итерации вектора):

1.52. a → a → . . . a → ⏟ n = a → ⌈ n ⌉ {displaystyle mathrm {underbrace {{vec {a}} {vec {a}}...{vec {a}}} _{n}={vec {a}}^{lceil n ceil }} } .

Показатель тензорной степени нужно записывать в скобках ⌈ n ⌉ {displaystyle mathrm {lceil n ceil } } , чтобы не путать тензорный квадрат вектора:

1.53. a → ⌈ 2 ⌉ = a → a → {displaystyle mathrm {{vec {a}}^{lceil 2 ceil }={vec {a}} {vec {a}}} }

с принятым в векторном анализе обозначением квадрата вектора (квадрата модуля):

1.54. a → 2 = a → ⋅ a → = | a → | 2 = a 2 {displaystyle mathrm {{vec {a}}^{2}={vec {a}}cdot {vec {a}}=|{vec {a}}|^{2}=a^{2}} } .

Можно убедиться, что:

1.55. ⌊ a → ⌈ n ⌉ ⌋ ≡ a → ⌈ n ⌉ {displaystyle mathrm {{igl lfloor }{vec {a}}^{lceil n ceil }{igr floor }equiv {vec {a}}^{lceil n ceil }} } .

В алгебре скаляров существует запись для степени суммы скаляров (бином Ньютона):

1.56. ( a + b ) n = ∑ k = 0 n n ! k ! ( n − k ) ! a n − k b k {displaystyle mathrm {{igl (}a+b{igr )}^{n}=sum _{k=0}^{n}{n! over k!(n-k)!}a^{n-k}b^{k}} } .

С использованием принятых здесь обозначений можно показать для тензорной степени суммы векторов:

1.57. ( a → + b → ) ⌈ n ⌉ = ∑ k = 0 n n ! k ! ( n − k ) ! ⌊ a → ⌈ n − k ⌉ b → ⌈ k ⌉ ⌋ {displaystyle mathrm {{igl (}{vec {a}}+{vec {b}}{igr )}^{lceil n ceil }=sum _{k=0}^{n}{n! over k!(n-k)!}{igl lfloor }{vec {a}}^{lceil n-k ceil }{vec {b}}^{lceil k ceil }{igr floor }} } .

Для дифференциала степени скаляра известно, что:

1.58. d a n = d ( a a . . . a ⏟ n ) = ( d a ( a a . . . a ⏟ n − 1 ) + a d a ( a a . . . a ⏟ n − 2 ) + . . . ⏟ n ) = n a ⌈ n − 1 ⌉ d a {displaystyle mathrm {d a^{n}=d(underbrace {a a...a} _{n})=(underbrace {d a(underbrace {a a...a} _{n-1})+a d a(underbrace {a a...a} _{n-2})+...} _{n})=n a^{lceil n-1 ceil }d a} } .

Можно показать, что для дифференциала тензорной степени вектора:

1.59. d a → ⌈ n ⌉ = d ( a → a → . . . a → ⏟ n ) = ( d a → ( a → a → . . . a → ⏟ n − 1 ) + a → d a → ( a → a → . . . a → ⏟ n − 2 ) + . . . ⏟ n ) = n ⌊ a → ⌈ n − 1 ⌉ d a → ⌋ {displaystyle mathrm {d {vec {a}}^{lceil n ceil }=d(underbrace {{vec {a}} {vec {a}}...{vec {a}}} _{n})=(underbrace {d {vec {a}}(underbrace {{vec {a}} {vec {a}}...{vec {a}}} _{n-1})+{vec {a}} d {vec {a}}(underbrace {{vec {a}} {vec {a}}...{vec {a}}} _{n-2})+...} _{n})=nlfloor {vec {a}}^{lceil n-1 ceil }d {vec {a}} floor } } .

Кратное скалярное произведение

В операциях с тензорами часто встречается необходимость кратного скалярного произведения тензоров, для которого можно использовать следующую символику:

1.60. i m 1 . . . i m m ∙ ( k ) i n 1 . . . i n n = i m 1 . . . i m m − k ( i m m − k + 1 ⋅ i n k ) . . . ( i m m ⋅ i n 1 ) i n k + 1 . . . i n n {displaystyle mathrm {i_{m_{1}}...i_{m_{m}}{overset {(k)}{ullet }}i_{n_{1}}...i_{n_{n}}=i_{m_{1}}...i_{m_{m-k}}{igl (}i_{m_{m-k+1}}cdot i_{n_{k}}{igr )}...{igl (}i_{m_{m}}cdot i_{n_{1}}{igr )}i_{n_{k+1}}...i_{n_{n}}} } ,

то есть:

1.61. C [ m + n − 2 k ] = A [ m ] ∙ ( k ) B [ n ] ∑ m 1 . . . m m n 1 . . . n n A ( m 1 . . . m m ) B ( n 1 . . . n n ) i m 1 . . . i m m ∙ ( k ) i n 1 . . . i n n {displaystyle mathrm {mathbf {C} ^{[m+n-2k]}=mathbf {A} ^{[m]}{overset {(k)}{ullet }}mathbf {B} ^{[n]}sum _{egin{matrix}m_{1}...m_{m}mathrm {n_{1}...n_{n}} end{matrix}}A^{(m_{1}...m_{m})}B^{(n_{1}...n_{n})}i_{m_{1}}...i_{m_{m}}{overset {(k)}{ullet }}i_{n_{1}}...i_{n_{n}}} }

1.62. C ( m 1 . . . m m + n − 2 k ) = ∑ k 1 . . . k k A ( m 1 . . . m m − k k 1 . . . k k ) B ( k 1 . . . k k m m − k + 1 . . . m m + n − 2 k ) {displaystyle mathrm {C^{(m_{1}...m_{m+n-2k})}=sum _{k_{1}...k_{k}}A^{(m_{1}...m_{m-k}k_{1}...k_{k})}B^{(k_{1}...k_{k}m_{m-k+1}...m_{m+n-2k})}} } .

Например, с использованием символа кратного скалярного произведения выражение (1.21) приобретает более компактную форму:

1.63. A ( m 1 . . . m m ) = i m m . . . i m 1 ∙ ( m ) A [ m ] = A [ m ] ∙ ( m ) i m m . . . i m 1 {displaystyle mathrm {A^{(m_{1}...m_{m})}=i_{m_{m}}...i_{m_{1}}{overset {(m)}{ullet }}mathbf {A} ^{[m]}=mathbf {A} ^{[m]}{overset {(m)}{ullet }}i_{m_{m}}...i_{m_{1}}} }

Уравнение движения. кинетический тензор и тензор вязких напряжений

Использование предложенной символики и правил позволяет записать уравнение движения в универсальной и компактной форме без привязки к конкретной системе координат:

1.64. ∂ p → ( V ) ∂ t + ∇ ⋅ Π = δ p → ( V ) δ t {displaystyle mathrm {{partial {vec {p}}^{(V)} over partial t}+ abla cdot mathbf {Pi } ={delta {vec {p}}^{(V)} over delta t}} }

Аналогично, для развернутой формы записи кинетического тензора имеем:

1.65. Π = ρ V → V → + δ P − σ I {displaystyle mathrm {mathbf {Pi } = ho {vec {V}} {vec {V}}+mathbf {oldsymbol {delta }} P-{oldsymbol {sigma }}^{I}} }

и для тензора вязких напряжений:

1.66. σ I = 2 η ( ⌊ ∇ V ⌋ − δ 3 ∇ ⋅ V → ) {displaystyle mathrm {{oldsymbol {sigma }}^{I}=2 eta {Biggl (}{Bigl lfloor }{ abla V}{Bigr floor }-{{oldsymbol {delta }} over 3} abla cdot {vec {V}}{Biggr )}} } .

Следует отметить, что последнее выражение, так же как и выражение для кондуктивной составляющей плотности потока энергии (теплопроводность):

1.67. q → κ = − κ ∇ T {displaystyle mathrm {{vec {q}}^{kappa }=-kappa abla T} }

представляют собой приближенные формы, применимые только при описании относительно плотных средств, когда производными величин σ I {displaystyle mathrm {{oldsymbol {sigma }}^{I}} } и q → κ {displaystyle mathrm {{vec {q}}^{kappa }} } по времени и координатам можно пренебречь по сравнению с их изменением в единицу времени в единице объема в результате столкновений.

Одним из часто встречающихся недоразумений, связанных с "урезанностью" (1.66) и (1.67) является представление о том, что причинам вязкого переноса импульса и теплопроводности являются переменность среднемассовой скорости и температуры в пространстве. Аналогично, в диффузионном приближении, когда производными среднемассовой скорости по времени и координатам можно пренебречь по сравнению с ее изменением в единицу времени в единице объема в результате столкновений, причиной течения называют переменность давления в пространстве.

На самом деле, с учетом отброшенных в обоих названных случаях слагаемых течение, теплопроводность, вязкий перенос импульса, переменность скорости, температуры и давления являются следствиями общей в каждом из названных случаев причины. Например: изменение среднемассовой скорости и давления – как следствия переменности сечения канала в реактивных системах.

Уравнения моментов функции распределения

Механические моменты и моменты функции распределения

Основные уравнения газодинамики представляют собой уравнения моментов функции распределения частиц по скоростям. Функция f α ( v → ) {displaystyle mathrm {f_{alpha }({vec {mathrm {v} }})} }

2.1. d 2 N α = f α ( v → ) d 3 r d 3 v {displaystyle mathrm {d^{2}N_{alpha }=f_{alpha }({vec {mathrm {v} }})d^{3}r d^{3}mathrm {v} } } ,

где

d 3 r {displaystyle mathrm {d^{3}r} } – элемент объема в пространстве координат;
d 3 v {displaystyle mathrm {d^{3}v} } – элемент объема в пространстве скоростей;
d 2 N α {displaystyle mathrm {d^{2}N_{alpha }} } – количество частиц в элементе объема d 3 r {displaystyle mathrm {d^{3}r} } в пространстве координат и элементе объема d 3 v {displaystyle mathrm {d^{3}mathrm {v} } } в пространстве скоростей.

Инструментом для отыскания функции f α ( v → ) {displaystyle mathrm {f_{alpha }({vec {v}})} } является кинетическое уравнение:

2.2. ∂ f α ( v → ) ∂ t + ∇ ⋅ ( f α ( v → ) v → ) + ∇ v ⋅ ( f α ( v → ) F → α ( v → ) m α ) = δ f α ( v → ) δ t {displaystyle mathrm {{partial f_{alpha }({vec {mathrm {v} }}) over partial t}+ abla cdot {Bigl (}f_{alpha }({vec {mathrm {v} }}){vec {mathrm {v} }}{Bigr )}+ abla _{mathrm {v} }cdot {Bigl (}f_{alpha }({vec {mathrm {v} }}){{vec {F}}_{alpha }({vec {mathrm {v} }}) over m_{alpha }}{Bigr )}={delta f_{alpha }({vec {mathrm {v} }}) over delta t}} } ,

где

F → α ( v → ) {displaystyle mathrm {{vec {F}}_{alpha }({vec {mathrm {v} }})} } – сила, действующая на частицу сорта α {displaystyle alpha } , имеющую скорость v → {displaystyle mathrm {vec {v}} } ;
∇ v = i x ∂ ∂ v x + i y ∂ ∂ v y + i z ∂ ∂ v z {displaystyle mathrm { abla _{mathrm {v} }=i_{x}{partial over partial mathrm {v} _{x}}+i_{y}{partial over partial mathrm {v} _{y}}+i_{z}{partial over partial mathrm {v} _{z}}} } – оператор Гамильтона в пространстве скоростей;
δ f α ( v → ) δ t {displaystyle mathrm {delta f_{alpha }({vec {mathrm {v} }}) over delta t} } – интеграл столкновений – изменение f α ( v → ) {displaystyle mathrm {f_{alpha }({vec {mathrm {v} }})} } в единицу времени в результате столкновений.

Основные механические характеристики частицы представляют собой моменты массы , где момент массы m α [ n ] ( v → ) {displaystyle mathrm {mathbf {m} _{alpha }^{[n]}({vec {mathrm {v} }})} } порядка n {displaystyle mathrm {n} } определяется выражением:

2.3. m α [ n ] ( v → ) = m α v → ⌈ n ⌉ {displaystyle mathrm {mathbf {m} _{alpha }^{[n]}({vec {mathrm {v} }})=m_{alpha }{vec {mathrm {v} }}^{lceil n ceil }} } .

Например:

момент массы 0-го порядка m α [ n ] ( v → ) = m α v → ⌈ n ⌉ {displaystyle mathrm {mathbf {m} _{alpha }^{[n]}({vec {mathrm {v} }})=m_{alpha }{vec {mathrm {v} }}^{lceil n ceil }} } представляет собой просто массу частицы;
момент массы 1-го порядка m α [ 1 ] ( v → ) = m α v → ⌈ 1 ⌉ = m α v → {displaystyle mathrm {mathbf {m} _{alpha }^{[1]}({vec {mathrm {v} }})=m_{alpha }{vec {mathrm {v} }}^{lceil 1 ceil }={m}_{alpha }{vec {mathrm {v} }}} } представляет собой импульс частицы;
момент массы 2-го порядка m α [ 2 ] ( v → ) = m α v → ⌈ 2 ⌉ = m α v → v → {displaystyle mathrm {mathbf {m} _{alpha }^{[2]}({vec {mathrm {v} }})=m_{alpha }{vec {mathrm {v} }}^{lceil 2 ceil }={m}_{alpha }{vec {mathrm {v} }} {vec {mathrm {v} }}} } представляет собой тензор 2-го ранга, не имеющий специального названия, но половина следа которого 1 2 T r ( m α [ 2 ] ( v → ) ) = 1 2 m α v 2 {displaystyle mathrm {{1 over 2}Tr{igl (}mathbf {m} _{alpha }^{[2]}({vec {mathrm {v} }}){igr )}={1 over 2}m_{alpha }mathrm {v} ^{2}} } есть кинетическая энергия частицы,

Основные газодинамические параметры представляют собой моменты функции распределения :

2.4. M α [ n ] = n α m α [ n ] ( v → ) = ∫ m α [ n ] ( v → ) f α ( v → ) d 3 v = m α n α ⟨ v → ⌈ n ⌉ ⟩ {displaystyle mathrm {mathbf {M} _{alpha }^{[n]}=n_{alpha }mathbf {m} _{alpha }^{[n]}({vec {mathrm {v} }})= extstyle int mathbf {m} _{alpha }^{[n]}({vec {mathrm {v} }})f_{alpha }({vec {mathrm {v} }})d^{3}mathrm {v} =m_{alpha }n_{alpha }langle {vec {mathrm {v} }}^{lceil n ceil } angle } } ,

где

n α {displaystyle mathrm {n_{alpha }} } – концентрация (количество частиц в единице объема);
⟨ ⟩ {displaystyle langle angle } – символ осреднения по скоростям.

Например:

момент 0-го порядка M α [ 0 ] = m α n α ⟨ v → ⌈ 0 ⌉ ⟩ = m α n α = ρ α {displaystyle mathrm {mathbf {M} _{alpha }^{[0]}=m_{alpha }n_{alpha }langle {vec {mathrm {v} }}^{lceil 0 ceil } angle =m_{alpha }n_{alpha }= ho _{alpha }} } представляет собой плотность массы (массу единицы объема);
момент 1-го порядка M α [ 1 ] = m α n α ⟨ v → ⌈ 1 ⌉ ⟩ = m α n α ⟨ v → ⟩ = p → α ( V ) {displaystyle mathrm {mathbf {M} _{alpha }^{[1]}=m_{alpha }n_{alpha }langle {vec {mathrm {v} }}^{lceil 1 ceil } angle =m_{alpha }n_{alpha }langle {vec {mathrm {v} }} angle ={vec {p}}_{alpha }^{(V)}} } представляет собой плотность импульса (количество импульса в единице объема), количественно равную плотности потока массы (количеству массы, в единицу времени переносимое через единицу поверхности);
момент 2-го порядка M α [ 2 ] = m α n α ⟨ v → ⌈ 2 ⌉ ⟩ = m α n α ⟨ v → v → ⟩ = Π α {displaystyle mathrm {mathbf {M} _{alpha }^{[2]}=m_{alpha }n_{alpha }langle {vec {mathrm {v} }}^{lceil 2 ceil } angle =m_{alpha }n_{alpha }langle {vec {mathrm {v} }} {vec {mathrm {v} }} angle =mathbf {Pi } _{alpha }} } представляет собой плотность потока импульса (кинетический тензор, количество импульса, в единицу времени переносимое через единицу поверхности), половина следа которого 1 2 δ ∙ ( 2 ) M α [ 2 ] = ε α V {displaystyle mathrm {{1 over 2}mathbf {oldsymbol {delta }} {overset {(2)}{ullet }}mathbf {M} _{alpha }^{[2]}=varepsilon _{alpha }^{V}} } есть плотность энергии (количество энергии в единице объема);
момент 3-го порядка M α [ 3 ] = m α n α ⟨ v → ⌈ 3 ⌉ ⟩ = m α n α ⟨ v → v → v → ⟩ = Q α {displaystyle mathrm {mathbf {M} _{alpha }^{[3]}=m_{alpha }n_{alpha }langle {vec {mathrm {v} }}^{lceil 3 ceil } angle =m_{alpha }n_{alpha }langle {vec {v}} {vec {v}} {vec {v}} angle =mathbf {Q} _{alpha }} } представляет собой тензор 3-го ранга, не имеющий специального названия, но половина вектор-следа которого 1 2 δ ∙ ( 2 ) M α [ 3 ] = q → α {displaystyle mathrm {{1 over 2}mathbf {oldsymbol {delta }} {overset {(2)}{ullet }}mathbf {M} _{alpha }^{[3]}={vec {q}}_{alpha }} } равна плотности потока энергии (количеству энергии, в единицу времени переносимое через единицу поверхности).

Похожее описание приведено в работе R. Fitzpatrick Plasma Physics : An Introduction, но для моментов, отнесенных к единице массы, и с записью только для следа-вектора момента третьего порядка Q α {displaystyle mathbf {Q} _{alpha }} .

Уравнения моментов функции распределения

Уравнение момента n {displaystyle mathrm {n} } -го порядка функции распределения частиц по скоростям может быть получено умножением всех слагаемых кинетического уравнения (2.2) на момент массы n {displaystyle mathrm {n} } -го порядка с последующим интегрированием всех слагаемых по всем значениям скорости.

В результате в применении к заряженной компоненте газа возникает уравнение следующего общего вида:

2.5. ∂ M α [ n ] ∂ t + ∇ ⋅ M α [ n + 1 ] − n q α m α ⌊ M α [ n ] × B → + M α [ n − 1 ] E → ⌋ = δ M α [ n ] δ t {displaystyle mathrm {{partial mathbf {M} _{alpha }^{[n]} over partial t}+ abla cdot mathbf {M} _{alpha }^{[n+1]}-n{q_{alpha } over m_{alpha }}{igl lfloor }mathbf {M} _{alpha }^{[n]} imes {vec {B}}+mathbf {M} _{alpha }^{[n-1]}{vec {E}}{igr floor }={delta mathbf {M} _{alpha }^{[n]} over delta t}} } ,

где δ M α [ n ] δ t {displaystyle mathrm {delta mathbf {M} _{alpha }^{[n]} over delta t} } – изменение момента в единицу времени в результате столкновений:

2.6. δ M α [ n ] δ t = ∫ m α [ n ] ( v → ) δ f α ( v → ) δ t d 3 v {displaystyle mathrm {{delta mathbf {M} _{alpha }^{[n]} over delta t}={ extstyle int }mathbf {m} _{alpha }^{[n]}({vec {mathrm {v} }}){delta f_{alpha }({vec {mathrm {v} }}) over delta t}d^{3}mathrm {v} } } .

В зависимости от порядка n {displaystyle n} можно записать следующие случаи для уравнения (2.5):

при n {displaystyle mathrm {n} } =0 – уравнение непрерывности:

2.7. ∂ ρ α ∂ t + ∇ ⋅ p → α ( V ) = δ ρ α δ t {displaystyle mathrm {{partial ho _{alpha } over partial t}+ abla cdot {vec {p}}_{alpha }^{(V)}={delta ho _{alpha } over delta t}} } ;

при n {displaystyle mathrm {n} } =1 – уравнение движения:

2.8. ∂ p → α ( V ) ∂ t + ∇ ⋅ Π α − q α m α ( p → α ( V ) × B → + ρ α E → ) = δ p → α ( V ) δ t {displaystyle mathrm {{partial {vec {p}}_{alpha }^{(V)} over partial t}+ abla cdot mathbf {Pi } _{alpha }-{q_{alpha } over m_{alpha }}{igl (}{vec {p}}_{alpha }^{(V)} imes {vec {B}}+ ho _{alpha }{vec {E}}{igr )}={delta {vec {p}}_{alpha }^{(V)} over delta t}} } ;

при n {displaystyle mathrm {n} } =2 – уравнение потока импульса:

2.9. ∂ Π α ∂ t + ∇ ⋅ Q α − 2 q α m α ⌊ Π α × B → + p → α ( V ) E → ⌋ = δ Π α δ t {displaystyle mathrm {{partial mathbf {Pi } _{alpha } over partial t}+ abla cdot mathbf {Q} _{alpha }-2{q_{alpha } over m_{alpha }}{igl lfloor }mathbf {Pi } _{alpha } imes {vec {B}}+{vec {p}}_{alpha }^{(V)}{vec {E}}{igr floor }={delta mathbf {Pi } _{alpha } over delta t}} } ;

при n {displaystyle mathrm {n} } =3 – уравнение моменте третьего порядка:

2.10. ∂ Q α ∂ t + ∇ ⋅ M α [ 4 ] − 3 q α m α ⌊ Q α × B → + Π α E → ⌋ = δ Q α δ t {displaystyle mathrm {{partial mathbf {Q} _{alpha } over partial t}+ abla cdot mathbf {M} _{alpha }^{[4]}-3{q_{alpha } over m_{alpha }}{igl lfloor }mathbf {Q} _{alpha } imes {vec {B}}+mathbf {Pi } _{alpha }{vec {E}}{igr floor }={delta mathbf {Q} _{alpha } over delta t}} } .

Незамкнутость системы уравнений моментов функции распределения. Уравнения статических моментов

На основе анализа уравнений (2.5) – (2.10) можно заметить, что система уравнений моментов функции распределения является принципиально незамкнутой – при записи уравнения для очередного неизвестного момента n {displaystyle mathrm {n} } -го порядка, во втором слагаемом левой части возникает дивергенция момента порядка n + 1 {displaystyle mathrm {n+1} } .

В любом описании система уравнений газодинамики замыкается приближенно с использованием предположений того или иного уровня точности.

Оставляя пока открытым вопрос о незамкнутости системы уравнений моментов функции распределения, можно показать возможность ее иного представления с использованием записей статических моментов.

Сопутствующей системой координат называют инерциальную систему отсчета, в которой в данный момент в данной точке среднемассовая скорость компоненты равна нулю. Скорость частицы в сопутствующей системе (хаотическая скорость) может быть представлена так:

2.11. v → = v → − V → α {displaystyle {vec {v}}mathrm {={vec {mathrm {v} }}-{vec {V}}_{alpha }} } .

При этом в соответствии с определением среднемассовой скорости V → α = ⟨ v → ⟩ {displaystyle mathrm {{vec {V}}_{alpha }=langle {vec {mathrm {v} }} angle } } имеем:

2.12. ⟨ v → ⟩ ≡ 0 {displaystyle langle {vec {v}} angle equiv 0} .

Таким образом, первый момент (плотность потока частиц, плотность импульса) в сопутствующей системе равен нулю по определению.

Моменты функции распределения в сопутствующей системе называются статическими моментами и могут находиться подстановкой v → {displaystyle {vec {v}}} вместо v → {displaystyle {vec {mathrm {v} }}} в выражения для моментов функции распределения:

2.13. P α = m α n α ⟨ v → v → ⟩ {displaystyle mathrm {mathbf {P} _{alpha }=m_{alpha }n_{alpha }} langle {vec {v}} {vec {v}} angle } ,

2.14. G α = m α n α ⟨ v → v → v → ⟩ {displaystyle mathrm {mathbf {G} _{alpha }=m_{alpha }n_{alpha }} langle {vec {v}} {vec {v}} {vec {v}} angle } ,

2.15. W α = m α n α ⟨ v → v → v → v → ⟩ {displaystyle mathrm {mathbf {W} _{alpha }=m_{alpha }n_{alpha }} langle {vec {v}} {vec {v}} {vec {v}} {vec {v}} angle } ,

где

P α {displaystyle mathbf {P} _{alpha }} – тензор давления компоненты, равный кинетическому тензору Π α {displaystyle mathbf {Pi } _{alpha }} в сопутствующей системе координат;
G α {displaystyle mathbf {G} _{alpha }} – третий статический момент, равный третьему моменту Q α {displaystyle mathbf {Q} _{alpha }} в сопутствующей системе координат;
W α {displaystyle mathbf {W} _{alpha }} – четвертый статический момент, равный четвертому моменту M α [ 4 ] {displaystyle mathbf {M} _{alpha }^{[4]}} в сопутствующей системе координат.

Тензор G α {displaystyle mathbf {G} _{alpha }} можно условно называть потоком давления.

Можно показать следующие связи между величинами полных и статических моментов:

2.16. Π α = ρ α V → α V → α + P α {displaystyle mathrm {mathbf {Pi } _{alpha }= ho _{alpha }{vec {V}}_{alpha }{vec {V}}_{alpha }+mathbf {P} _{alpha }} } ,

2.17. Q α = ρ α V → α V → α V → α + 3 ⌊ V → α P α ⌋ + G α {displaystyle mathrm {mathbf {Q} _{alpha }= ho _{alpha }{vec {V}}_{alpha }{vec {V}}_{alpha }{vec {V}}_{alpha }+3{igl lfloor }{vec {V}}_{alpha }mathbf {P} _{alpha }{igr floor }+mathbf {G} _{alpha }} } ,

2.18. M α [ 4 ] = ρ α V → α V → α V → α V → α + 6 ⌊ V → α V → α P α ⌋ + 4 ⌊ V → α G α ⌋ + W α {displaystyle mathrm {mathbf {M} _{alpha }^{[4]}= ho _{alpha }{vec {V}}_{alpha }{vec {V}}_{alpha }{vec {V}}_{alpha }{vec {V}}_{alpha }+6{igl lfloor }{vec {V}}_{alpha }{vec {V}}_{alpha }mathbf {P} _{alpha }{igr floor }+4{igl lfloor }{vec {V}}_{alpha }mathbf {G} _{alpha }{igr floor }+mathbf {W} _{alpha }} } .

При этом вместо уравнений потока импульса (2.9) и третьего момента (2.10) можно использовать уравнение давления:

2.19. ∂ P α ∂ t + ∇ ⋅ ( V → α P α + G α ) − 2 q α m α ⌊ P α × B → ⌋ + 2 ⌊ P α ∇ V → α ⌋ = δ P α δ t {displaystyle mathrm {{partial mathbf {P} _{alpha } over partial t}+ abla cdot {igl (}{vec {V}}_{alpha }mathbf {P} _{alpha }+mathbf {G} _{alpha }{igr )}-2{q_{alpha } over m_{alpha }}{igl lfloor }mathbf {P} _{alpha } imes {vec {B}}{igr floor }+2{igl lfloor }mathbf {P} _{alpha } abla {vec {V}}_{alpha }{igr floor }={delta mathbf {P} _{alpha } over delta t}} }

и уравнение потока давления:

2.20. ∂ G α ∂ t + ∇ ⋅ ( V → α G α + W α ) − 3 q α m α ⌊ G α × B → ⌋ + 3 ⌊ G α ∇ V → α − P α ∇ ⋅ P α ρ α ⌋ = δ G α δ t {displaystyle mathrm {{partial mathbf {G} _{alpha } over partial t}+ abla cdot {igl (}{vec {V}}_{alpha }mathbf {G} _{alpha }+mathbf {W} _{alpha }{igr )}-3{q_{alpha } over m_{alpha }}{igl lfloor }mathbf {G} _{alpha } imes {vec {B}}{igr floor }+3{iggl lfloor }mathbf {G} _{alpha } abla {vec {V}}_{alpha }-{mathbf {P} _{alpha } abla cdot mathbf {P} _{alpha } over ho _{alpha }}{iggr floor }={delta mathbf {G} _{alpha } over delta t}} } ,

где δ P α δ t {displaystyle mathrm {delta mathbf {P} _{alpha } over delta t} } и δ G α δ t {displaystyle mathrm {delta mathbf {G} _{alpha } over delta t} } – изменения P α {displaystyle mathbf {P} _{alpha }} и G α {displaystyle mathbf {G} _{alpha }} в единицу времени в результате столкновений, равные:

2.21. δ P α δ t = δ Π α δ t − 2 ⌊ V → α δ p → α ( V ) δ t ⌋ + V → α δ ρ α δ t {displaystyle {delta mathbf {P} _{alpha } over delta t}={delta mathbf {Pi } _{alpha } over delta t}-2{iggl lfloor }{vec {V}}_{alpha }{delta {vec {p}}_{alpha }^{(V)} over delta t}{iggr floor }+{vec {V}}_{alpha }{delta ho _{alpha } over delta t}}

2.22. δ G α δ t = δ Q α δ t − 3 ⌊ V → α δ Π α δ t + P α − V → α p → α ( V ) ρ α ( δ p → α ( V ) δ t − V → α δ ρ α δ t ) ⌋ {displaystyle mathrm {{delta mathbf {G} _{alpha } over delta t}={delta mathbf {Q} _{alpha } over delta t}-3{Biggl lfloor }{vec {V}}_{alpha }{delta mathbf {Pi } _{alpha } over delta t}+{mathbf {P} _{alpha }-{vec {V}}_{alpha }{vec {p}}_{alpha }^{(V)} over ho _{alpha }}{iggl (}{delta {vec {p}}_{alpha }^{(V)} over delta t}-{vec {V}}_{alpha }{delta ho _{alpha } over delta t}{iggr )}{Biggr floor }} } .

Можно заметить, что половина следа тензора G α {displaystyle mathbf {G} _{alpha }} представляет собой кондуктивную составляющую плотности потока энергии:

2.23. 1 2 δ ∙ ( 2 ) G α = q → α κ {displaystyle mathrm {{1 over 2}mathbf {oldsymbol {delta }} {overset {(2)}{ullet }}mathbf {G} _{alpha }={vec {q}}_{alpha }^{kappa }} } .

Следует также отметить, что понятие тензора вязких напряжений является реликтом, связанным с попыткой представления единичного объема газа как материального тела, изменение импульса которого происходит в результате действия неких сил.

На самом деле все три слагаемые в (1.65) соответствуют переносу импульса вместе с частицами, а не результата обмена импульсами (действия сил). Поэтому предпочтительным является представление кинетического тензора в виде (2.16) или в виде:

2.24. Π α = ρ α V → α V → α + δ P α + π α {displaystyle mathrm {mathbf {Pi } _{alpha }= ho _{alpha }{vec {V}}_{alpha }{vec {V}}_{alpha }+mathbf {oldsymbol {delta }} P_{alpha }+mathbf {oldsymbol {pi }} _{alpha }} } ,

где π α {displaystyle mathbf {oldsymbol {pi }} _{alpha }} – тензор вязкости, равный:

2.25. π α = P α − δ P α = − σ I {displaystyle mathrm {mathbf {oldsymbol {pi }} _{alpha }=mathbf {P} _{alpha }-mathbf {oldsymbol {delta }} P_{alpha }=-{oldsymbol {sigma }}^{I}} } .

Поток вектора в математике и физике принято считать положительным, если он направлен наружу из выделенного объема, а силу в физике - положительной, если она направлена внутрь. Этим и объясняется разница в знаках π α = − σ I {displaystyle mathrm {mathbf {oldsymbol {pi }} _{alpha }=-{oldsymbol {sigma }}^{I}} } между тензором вязкости (как составляющей плотности потока импульса вместе с молекулами и тензором вязких напряжений как "силой", действующей на объем.

Уравнение вида (2.19) приведено, например в книге Б. Росси и С. Ольберта "Introduction to the physics of space" , но в форме уравнения для компоненты тензора давления, а не в нашем компактном виде и без каких-либо рекомендаций о способах отыскания тензора G α {displaystyle mathbf {G} _{alpha }} .

Приближение третьего ранга

Как уже сказано, система уравнений моментов функции распределения принципиально незамкнута. Замыкание достигается приближенно в зависимости от степени анизотропии функции распределения в сопутствующей системе координат, которую считают необходимым учесть в конкретной решаемой задаче.

Уравнения (2.7), (2.8), (2.19) - (2.22) содержат тензоры от 0-го до 3-го ранга, необходимые для расчета характеристик устройства с учетом, в том числе и диссипативного переноса импульса и энергии. Проблему представляет тензор 4-го ранга W α {displaystyle mathbf {W} _{alpha }} . При этом, моменты четных рангов не равны нулю даже при изотропном по v → {displaystyle {vec {v}}} распределении.

Например, при максвелловском распределении имеет место равенство:

2.26. W α = 3 ⌊ δ δ ⌋ P α P α ρ α {displaystyle mathrm {mathbf {W} _{alpha }=3{igl lfloor }mathbf {oldsymbol {delta }} mathbf {oldsymbol {delta }} {igr floor }{P_{alpha }P_{alpha } over ho _{alpha }}} } .

В работе предложено следующее приближенное обобщение зависимости (2.26):

2.27. W α = 3 ⌊ P α P α ⌋ ρ α {displaystyle mathbf {W} _{alpha }=3{{igl lfloor }mathbf {P} _{alpha }mathbf {P} _{alpha }{igr floor } over ho _{alpha }}} .

В таком представлении уравнение (2.20) приобретает вид

2.28. ∂ G α ∂ t + ∇ ⋅ ( V → α G α ) − 3 q α m α ⌊ G α × B → ⌋ + 3 ⌊ G α ∇ V → α ⌋ + 3 ⌊ P α ⋅ ∇ ( P α ρ α ) ⌋ = δ G α δ t {displaystyle mathrm {{partial mathbf {G} _{alpha } over partial t}+ abla cdot {igl (}{vec {V}}_{alpha }mathbf {G} _{alpha }{igr )}-3{q_{alpha } over m_{alpha }}{igl lfloor }mathbf {G} _{alpha } imes {vec {B}}{igr floor }+3{igl lfloor }mathbf {G} _{alpha } abla {vec {V}}_{alpha }{igr floor }+3{iggl lfloor }mathbf {P} _{alpha }cdot abla {iggl (}{mathbf {P} _{alpha } over ho _{alpha }}{iggr )}{iggr floor }={delta mathbf {G} _{alpha } over delta t}} } ,

то есть не содержит уже новых неизвестных, что позволяет приближенно замкнуть систему на уровне моментов от 0-го до 3-го ранга.

Найдя след каждого слагаемого в (2.19) можно показать для скаляра давления P α = 1 3 δ ∙ ( 2 ) P α {displaystyle mathrm {P_{alpha }={1 over 3}mathbf {oldsymbol {delta }} {overset {(2)}{ullet }}mathbf {P} _{alpha }} } :

2.29. ∂ P α ∂ t + ∇ ⋅ ( V → α P α + 2 3 G → α ) + 2 3 ⌊ P α ∇ ⋅ V → α + ( π α ⋅ ∇ ) ⋅ V → α ⌋ = δ P α δ t {displaystyle mathrm {{partial P_{alpha } over partial t}+ abla cdot {igl (}{vec {V}}_{alpha }P_{alpha }+{2 over 3}{vec {G}}_{alpha }{igr )}+{2 over 3}{igl lfloor }P_{alpha } abla cdot {vec {V}}_{alpha }+(mathbf {oldsymbol {pi }} _{alpha }cdot abla )cdot {vec {V}}_{alpha }{igr floor }={delta P_{alpha } over delta t}} } .

С учетом (2.19), (2.29) для тензора вязкости можно записать:

2.30. ∂ π α ∂ t + ∇ ⋅ ( V → α π α + G α − δ 3 q → α κ ) − 2 q α m α ⌊ π α × B → ⌋ + 2 P α ( ⌊ ∇ V → α ⌋ − δ 3 ∇ ⋅ V → α ) = δ π α δ t {displaystyle mathrm {{partial mathbf {oldsymbol {pi }} _{alpha } over partial t}+ abla cdot {iggl (}{vec {V}}_{alpha }mathbf {oldsymbol {pi }} _{alpha }+mathbf {G} _{alpha }-{mathbf {oldsymbol {delta }} over 3}{vec {q}}_{alpha }^{kappa }{iggr )}-2{q_{alpha } over m_{alpha }}{igl lfloor }mathbf {oldsymbol {pi }} _{alpha } imes {vec {B}}{igr floor }+2P_{alpha }{iggl (}{igl lfloor } abla {vec {V}}_{alpha }{igr floor }-{mathbf {oldsymbol {delta }} over 3} abla cdot {vec {V}}_{alpha }{iggr )}={delta mathbf {oldsymbol {pi }} _{alpha } over delta t}} } .

Найдя след каждого слагаемого в (2.28) с учетом (2.23) и подставляя P α = δ P α {displaystyle mathrm {mathbf {P} _{alpha }=mathbf {oldsymbol {delta }} P_{alpha }} } (как при максвелловском распределении) можно показать для теплопроводности:

2.31. ∂ q → α κ ∂ t + ∇ ⋅ ( V → α q → α κ ) + 3 2 q → α κ ⋅ ∇ V → α − 3 2 q α m α ⌊ q → α κ × B → ⌋ + 5 2 P α k ρ α ∇ T α = δ q → α κ δ t {displaystyle mathrm {{partial {vec {q}}_{alpha }^{kappa } over partial t}+ abla cdot {igl (}{vec {V}}_{alpha }{vec {q}}_{alpha }^{kappa }{igr )}+{3 over 2}{vec {q}}_{alpha }^{kappa }cdot abla {vec {V}}_{alpha }-{3 over 2}{q_{alpha } over m_{alpha }}{igl lfloor }{vec {q}}_{alpha }^{kappa } imes {vec {B}}{igr floor }+{5 over 2}{P_{alpha }k over ho _{alpha }} abla T_{alpha }={delta {vec {q}}_{alpha }^{kappa } over delta t}} } .

Для однородного газа правые части (2.30) и (2.31) могут быть представлены так:

2.32. δ π α δ t = − 3 2 π α τ α α d {displaystyle mathrm {{delta mathbf {oldsymbol {pi }} _{alpha } over delta t}=-{3 over 2}{mathbf {oldsymbol {pi }} _{alpha } over au _{alpha alpha }^{d}}} } ,

2.33. δ q → α κ δ t = − q → α κ τ α α d {displaystyle mathrm {{delta {vec {q}}_{alpha }^{kappa } over delta t}=-{{vec {q}}_{alpha }^{kappa } over au _{alpha alpha }^{d}}} } ,

где τ α α d {displaystyle mathrm { au _{alpha alpha }^{d}} } – эффективное время передачи давления.

Подстановка (2.32), (2.33) в (2.30) и (2.31) дает для однородного газа:

2.34. ∂ π α ∂ t + ∇ ⋅ ( V → α π α + G α − δ 3 q → α κ ) − 2 q α m α ⌊ π α × B → ⌋ + 2 P α ( ⌊ ∇ V → α ⌋ − δ 3 ∇ ⋅ V → α ) = − 3 2 π α τ α α d {displaystyle mathrm {{partial mathbf {oldsymbol {pi }} _{alpha } over partial t}+ abla cdot {iggl (}{vec {V}}_{alpha }mathbf {oldsymbol {pi }} _{alpha }+mathbf {G} _{alpha }-{mathbf {oldsymbol {delta }} over 3}{vec {q}}_{alpha }^{kappa }{iggr )}-2{q_{alpha } over m_{alpha }}{igl lfloor }mathbf {oldsymbol {pi }} _{alpha } imes {vec {B}}{igr floor }+2P_{alpha }{iggl (}{igl lfloor } abla {vec {V}}_{alpha }{igr floor }-{mathbf {oldsymbol {delta }} over 3} abla cdot {vec {V}}_{alpha }{iggr )}=-{3 over 2}{mathbf {oldsymbol {pi }} _{alpha } over au _{alpha alpha }^{d}}} } ,

2.35. ∂ q → α κ ∂ t + ∇ ⋅ ( V → α q → α κ ) + 3 2 q → α κ ⋅ ∇ V → α − 3 2 q α m α ⌊ q → α κ × B → ⌋ + 5 2 P α k ρ α ∇ T α = − q → α κ τ α α d {displaystyle mathrm {{partial {vec {q}}_{alpha }^{kappa } over partial t}+ abla cdot {igl (}{vec {V}}_{alpha }{vec {q}}_{alpha }^{kappa }{igr )}+{3 over 2}{vec {q}}_{alpha }^{kappa }cdot abla {vec {V}}_{alpha }-{3 over 2}{q_{alpha } over m_{alpha }}{igl lfloor }{vec {q}}_{alpha }^{kappa } imes {vec {B}}{igr floor }+{5 over 2}{P_{alpha }k over ho _{alpha }} abla T_{alpha }=-{{vec {q}}_{alpha }^{kappa } over au _{alpha alpha }^{d}}} } .

Граничные условия и характеристики столкновений

Можно заметить, что "классические" выражения для вязкости и теплопроводности можно получить из (2.34) и (2.35), оставляя в левых частях только последние слагаемые. Однако в разреженных газах, где роль столкновений в объеме мала, нельзя пренебрегать слагаемыми, связанными с изменением диссипативных характеристик в пространстве и во времени. В отличие от "классических" полные записи являются дифференциальными по искомым параметрам, а значит для их решения необходимы граничные условия.

Названные условия должны отражать факторы изотропии или анизотропии в процессах на границе газа (или плазмы).

Например, на границе плазмы с поверхностью или окружающей нейтральной средой существует пространственный слой заряда (ленгмюовский слой), по своей природе неоднородный и нестационарный. Отражение электронов от потенциального барьера в этом слое не является зеркальным - происходит релаксация импульса и трансформация моментов функции распределения высоких рангов.

Вопрос формулировки граничных условий с учетом названного процесса решался в работах.

Актуальным остается вопрос о записи правых частей для уравнений моментов порядка выше 1 с учетом упругих и неупругих столкновений в объеме.