Звезда Ходжа

Звезда Ходжа — важный линейный оператор из пространства q-векторов в пространство (n − q)-форм. Метрический тензор задаёт канонический изоморфизм между пространствами q-форм и q-векторов, поэтому обычно звездой Ходжа называют оператор из пространства дифференциальных форм размерности q в пространство форм размерности n − q.

∗ : Λ q ( T ∗ M ) → Λ n − q ( T ∗ M ) {displaystyle *colon Lambda ^{q}(T^{*}M) o Lambda ^{n-q}(T^{*}M)}

Этот оператор был введён Вильямом Ходжем.

Определение

Вспомогательные определения

Определим форму объёма

Ω = f ( X ) d X 0 ∧ … ∧ d X n − 1 {displaystyle Omega =f(X)dX^{0}wedge ldots wedge dX^{n-1}} Ω M 1 … M n = f ( X ) ε M 1 … M n {displaystyle Omega _{M_{1}ldots M_{n}}=f(X)varepsilon _{M_{1}ldots M_{n}}}

где f ( X ) : M → R {displaystyle f(X):M o mathbb {R} } — неотрицательный скаляр на многообразии M {displaystyle M} , а ε M 1 … M n {displaystyle varepsilon _{M_{1}ldots M_{n}}} — полностью антисимметричный символ. ε 0 … n − 1 = + 1 {displaystyle varepsilon _{0ldots n-1}=+1} . Даже в отсутствие метрики, если f ( X ) > 0 {displaystyle f(X)>0} , можно определить контравариантные компоненты формы объёма.

Ω ˇ = 1 f ( X ) ∂ ∂ X 0 ∧ ⋯ ∧ ∂ ∂ X n − 1 {displaystyle {check {Omega }}={frac {1}{f(X)}}{frac {partial }{partial {X^{0}}}}wedge cdots wedge {frac {partial }{partial {}{X^{n-1}}}}} Ω ˇ M 1 … M n = f − 1 ( X ) ε M 1 … M n {displaystyle {check {Omega }}^{M_{1}ldots M_{n}}=f^{-1}(X)varepsilon ^{M_{1}ldots M_{n}}}

здесь антисимметричный символ ε M 1 … M n {displaystyle varepsilon ^{M_{1}ldots M_{n}}} совпадает ε M 1 … M n {displaystyle varepsilon _{M_{1}ldots M_{n}}} .

В присутствии метрики Ω {displaystyle Omega } с поднятыми индексами может отличаться от Ω ˇ {displaystyle {check {Omega }}} на знак: Ω = σ Ω ˇ {displaystyle Omega =sigma {check {Omega }}} . Здесь и далее σ = sgn ⁡ det ( g m k ) {displaystyle sigma =operatorname {sgn} det(g_{mk})}

Введём операцию антисимметризации:

A [ m 1 … m q ] = 1 q ! ∑ σ ( m 1 … m q ) ( − 1 ) sgn ⁡ ( m 1 … m q ) A σ ( m 1 … m q ) {displaystyle A_{[m_{1}ldots m_{q}]}={frac {1}{q!}}sum _{sigma (m_{1}ldots m_{q})}(-1)^{operatorname {sgn}(m_{1}ldots m_{q})}A_{sigma (m_{1}ldots m_{q})}} . Суммирование ведётся по всем перестановкам σ ( m 1 … m q ) {displaystyle sigma (m_{1}ldots m_{q})} индексов, заключённых в квадратные скобки, с учётом их чётности sgn ⁡ ( σ ) {displaystyle operatorname {sgn}(sigma )} . Аналогично определяется антисимметризация верхних индексов; антисимметризовать можно только по группе индексов одного типа. Примеры: A k [ l m ] = 1 2 ! ( A k l m − A k m l ) {displaystyle A_{k[lm]}={frac {1}{2!}}(A_{klm}-A_{kml})} ; A k [ l B p m ] = 1 2 ! ( A k l B p m − A k m B p l ) {displaystyle A_{k}^{[l}B_{p}^{m]}={frac {1}{2!}}(A_{k}^{l}B_{p}^{m}-A_{k}^{m}B_{p}^{l})} .

Разберёмся теперь с операцией свёртки. При свёртке набора антисимметричных индексов удобно ввести следующее обозначение:

A A … ⌊ K 1 … K k ⌋ B … C … ⌊ K 1 … K k ⌋ D … = 1 k ! A A … K 1 … K k B … C … K 1 … K k D … {displaystyle A^{Aldots lfloor K_{1}ldots K_{k} floor Bldots }{}_{Cldots lfloor K_{1}ldots K_{k} floor Dldots }={frac {1}{k!}}A^{Aldots K_{1}ldots K_{k}Bldots }{}_{Cldots K_{1}ldots K_{k}Dldots }} .

Если тензор антисимметричен как по верхним, так и по нижним сворачиваемым индексам, можно вести суммирование по индексам, заключённым в скобки ⌊ ⌋ {displaystyle lfloor ; floor } только по упорядоченным наборам не деля на k ! {displaystyle k!} , это связано с тем, что разные наборы индексов K 1 … K k {displaystyle K_{1}ldots K_{k}} , отличающиеся лишь порядком индексов дают одинаковый вклад в сумму.

Определим теперь тензоры:

( A , B ) M k + 1 … M q ( k ) N k + 1 … N p = A ⌊ K 1 … K k ⌋ M k + 1 … M q B ⌊ K 1 … K k ⌋ N k + 1 … N p {displaystyle (A,B)_{M_{k+1}ldots M_{q}}^{(k)}{}^{N_{k+1}ldots N_{p}}=A_{lfloor K_{1}ldots K_{k} floor M_{k+1}ldots M_{q}}B^{lfloor K_{1}ldots K_{k} floor N_{k+1}ldots N_{p}}} ( A , B ) M 1 … M q − k ( k ) _ N 1 … N p − k = A M 1 … M q − k ⌊ K 1 … K k ⌋ B N 1 … N p − k ⌊ K 1 … K k ⌋ {displaystyle (A,B)_{M_{1}ldots M_{q-k}}^{underline {(k)}}{}^{N_{1}ldots N_{p-k}}=A_{M_{1}ldots M_{q-k}lfloor K_{1}ldots K_{k} floor }B^{N_{1}ldots N_{p-k}lfloor K_{1}ldots K_{k} floor }}

Индекс (k) указывает число индексов, по которым проводилась свёртка. Там где это не может привести к неоднозначности, (k) будет опускаться. Вышеприведённые тензоры могут отличаться (а могут и не отличаться) только на знак.

Общее определение звезды Ходжа

Используя форму объёма Ω {displaystyle Omega } и поливектор Ω ˇ {displaystyle {check {Omega }}} , можно ввести операцию ∗ {displaystyle *} , превращающую поливектор B {displaystyle B} степени p {displaystyle p} в дифференциальную форму ∗ B {displaystyle *B} степени n − p {displaystyle n-p} , и обратную операцию ∗ − 1 {displaystyle *^{-1}} , превращающую форму A {displaystyle A} степени q {displaystyle q} в поливектор ∗ − 1 A {displaystyle *^{-1}A} степени n − q {displaystyle n-q}

∗ B = ( Ω , B ) ( p ) {displaystyle *B=(Omega ,B)^{(p)}} ∗ − 1 A = ( A , Ω ˇ ) ( q ) _ {displaystyle *^{-1}A=(A,{check {Omega }})^{underline {(q)}}}

Эта операция называется звездой Ходжа или дуальностью Ходжа. В компонентах она выглядит следующим образом:

( ∗ B ) m q + 1 … m n = f ( X ) q ! B m 1 … m q ε m 1 … m n {displaystyle (*B)_{m_{q+1}ldots m_{n}}={frac {f(X)}{q!}}B^{m_{1}ldots m_{q}}varepsilon _{m_{1}ldots m_{n}}}

Поскольку ∗ − 1 ∗ B = B {displaystyle *^{-1}*B=B} и ∗ ∗ − 1 A = A {displaystyle **^{-1}A=A} , то мы установили взаимно-однозначное соответствие между дифференциальными формами степени q и поливекторами степени n-q

Помимо операторов ∗ {displaystyle *} и ∗ − 1 {displaystyle *^{-1}} введём пару операторов: ∗ ˇ {displaystyle {check {*}}} и ∗ ˇ − 1 {displaystyle {check {*}}^{-1}} , отличающихся от них знаком.

∗ ˇ B = ( Ω , B ) ( p ) _ {displaystyle {check {*}}B=(Omega ,B)^{underline {(p)}}} ∗ ˇ − 1 A = ( A , Ω ˇ ) ( q ) {displaystyle {check {*}}^{-1}A=(A,{check {Omega }})^{(q)}}

Звезда Ходжа в присутствии метрики

Пусть на нашем многообразии размерности n задана метрика g m k {displaystyle g_{mk}} . Обозначим g = det ( g m k ) {displaystyle g=det(g_{mk})} .

Элементом объёма или формой объёма порождённой метрикой g m k {displaystyle g_{mk}} называется форма Ω = | g | d X 0 ∧ … ∧ d X n − 1 = | g | d X n {displaystyle Omega ={sqrt {|g|}}dX^{0}wedge ldots wedge dX^{n-1}={sqrt {|g|}}dX^{n}} В компонентах:

Ω m 1 … m n = | g | ε m 1 … m n {displaystyle Omega _{m_{1}ldots m_{n}}={sqrt {|g|}}varepsilon _{m_{1}ldots m_{n}}} Ω m 1 … m n = | g | g ε m 1 … m n = sgn ⁡ ( g ) | g | ε m 1 … m n {displaystyle Omega ^{m_{1}ldots m_{n}}={frac {sqrt {|g|}}{g}}varepsilon ^{m_{1}ldots m_{n}}={frac {operatorname {sgn}(g)}{sqrt {|g|}}}varepsilon ^{m_{1}ldots m_{n}}}

Поскольку у нас есть метрика, мы можем устроить канонический изоморфизм между поливекторами и дифференциальными формами:

A m 1 … m n = A l 1 … l n g m 1 l 1 ⋯ g m n l n {displaystyle A_{m_{1}ldots m_{n}}=A^{l_{1}ldots l_{n}}g_{m_{1}l_{1}}cdots g_{m_{n}l_{n}}}

Поэтому мы можем установить взаимно однозначное соответствие между q-формами и (n-q)-формами. ( ∗ A ) m q + 1 … m n = 1 q ! Ω m 1 … m n A l 1 … l q g m 1 l 1 ⋯ g m q l q {displaystyle (*A)_{m_{q+1}ldots m_{n}}={frac {1}{q!}}Omega _{m_{1}ldots m_{n}}A_{l_{1}ldots l_{q}}g^{m_{1}l_{1}}cdots g^{m_{q}l_{q}}}

Дополнительные операторы

На поливекторах можно ввести оператор взятия дивергенции, понижающий степень поливектора на 1:

δ = ∗ − 1 d ∗ {displaystyle delta =*^{-1}d*} ( δ A ) M 1 … M q − 1 = 1 f ( X ) ∂ M q ( f ( X ) A M 1 … M q ) {displaystyle (delta A)^{M_{1}ldots M_{q-1}}={frac {1}{f(X)}}partial _{M_{q}}(f(X)A^{M_{1}ldots M_{q}})}

В присутствие метрики оператор дивергенции δ {displaystyle delta } выражается через оператор ковариантной производной ∇ {displaystyle abla } , определённый с помощью согласованной с метрикой симметричной связности:

( δ A ) M 1 … M q − 1 = ( ∇ , A ) ( 1 ) _ M 1 … M q − 1 = ∇ M q A M 1 … M q = 1 | g | ∂ M q ( | g | A M 1 … M q ) {displaystyle (delta A)^{M_{1}ldots M_{q-1}}=( abla ,A)^{{underline {(1)}}M_{1}ldots M_{q-1}}= abla _{M_{q}}A^{M_{1}ldots M_{q}}={frac {1}{sqrt {|g|}}}partial _{M_{q}}({sqrt {|g|}}A^{M_{1}ldots M_{q}})}

Иногда операцию d {displaystyle d} (внешнюю производную) называют градиентом дифференциальных форм, а операцию δ {displaystyle delta } — дивергенцией. Для 1-формы операция δ {displaystyle delta } задаёт обычную дивергенцию (в присутствии метрики, дифференциальные формы и поливектора отождествляются с помощью канонического изоморфизма)

Лапласиан Δ {displaystyle Delta } от q {displaystyle q} -формы A {displaystyle A} определяется формулой:

Δ A = ( − 1 ) q ( δ d + d δ ) A {displaystyle Delta A=(-1)^{q}(delta d+ddelta )A}

Для скаляра (0-формы) лапласиан — оператор Лапласа — Бельтрами:

Δ φ = ∇ M ∇ M φ = 1 | g | ∂ M | g | g M N ∂ N φ {displaystyle Delta varphi = abla _{M} abla ^{M}varphi ={frac {1}{sqrt {|g|}}}partial _{M}{sqrt {|g|}}g^{MN}partial _{N}varphi }

Для скаляра Δ = ∇ M ∇ M {displaystyle Delta = abla _{M} abla ^{M}} . Если q > 0 {displaystyle q>0} , то по формуле Бохнера для произвольной метрики в Δ {displaystyle Delta } появляются дополнительные члены линейные по кривизне. Так в случае q = 1 {displaystyle q=1}

( Δ A ) K = ∇ M ∇ M A K − R K M A M {displaystyle (Delta A)_{K}= abla _{M} abla ^{M}A_{K}-R_{K}{}^{M}A_{M}}

где R K M {displaystyle R_{K}{}^{M}} — тензор Риччи, построенный по симметричной связности, согласованной с метрикой.