Последовательность Морса — Туэ

Последовательность Морса — Туэ — бесконечная последовательность нулей и единиц (битов), впервые предложенная в 1906 году норвежским математиком Акселем Туэ в качестве примера апериодической рекурсивно вычислимой строки символов[уточнить]. Существует два варианта последовательности, получающиеся друг из друга инверсией битов:

10010110011010010110100110010110… (последовательность A010059 в OEIS) — дополнительная 01101001100101101001011001101001… (последовательность A010060 в OEIS) — основная

Последовательность Морса — Туэ является простейшим примером фрактала и находит своё применение в алгоритмах фрактального сжатия изображений.

Определения

Последовательность можно определить многими разными эквивалентными способами:

• Выполняя преобразование 0 → 01 {displaystyle 0 ightarrow 01} ; 1 → 10 {displaystyle 1 ightarrow 10} , взяв за первую итерацию 1 {displaystyle 1} :

1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0

• Начинаем с 1. На каждом шаге дописываем к числу инверсию этого числа. Инверсия получается заменой всех нулей на единицы, а единиц на нули. К примеру, инверсией числа 1001 будет число 0110. (По-другому инверсию числа можно описать так: это число, дополняющее уже написанное до числа, состоящего только из единиц; например 1001+0110=1111 в двоичной системе счисления)

Шаг 1: 1 Шаг 2: 10 Шаг 3: 1001 Шаг 4: 10010110 Шаг 5: 1001011001101001 ...

• Выпишем подряд числа 0,1,2,3... в двоичной системе, и посчитаем количество цифр 1 в каждом числе. (Получим последовательность A000120 в OEIS.) Затем возьмем остаток этого числа от деления на 2.

История

Последовательность была открыта в 1851 году Пруэ (фр. E. Prouhet), который нашёл ей применение в теории чисел, однако не описал исключительные свойства последовательности. И только в 1906 году Аксель Туэ при изучении комбинаторики открыл её заново.

Публикация работы Туэ в Германии прошла бесследно, и последовательность вновь открывает Марсон Морс в 1921, применив её в дифференциальной геометрии.

Последовательность открывалась независимо много раз: например гроссмейстер Макс Эйве открыл её применение в шахматах, показав, как играть бесконечно, не нарушая правил ничьей.

Свойства

Симметрии

Как и любой фрактал, последовательность Морса — Туэ обладает рядом симметрий. Так, последовательность остаётся сама собой:

• При удалении всех элементов на чётных местах:

10 01 01 10 01 10 10 01 01 10 10 01 10 01 01 10... 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1...

• При замене двух частей, из которых можно составить целое, другими двумя символами. Это означает, что последовательность нельзя заархивировать по алгоритму Хаффмана, так как последовательность, являющаяся «архивом» будет совпадать с самой последовательностью Морса — Туэ:

1001 0110 0110 1001 0110 1001 1001 0110... 1 0 0 1 0 1 1 0...

Другие свойства

• В последовательности никогда не встречаются три одинаковых подряд идущих части (невозможно встретить «A-A-A», где «A» — последовательностей нулей и единиц);
• Дискретное преобразование Фурье последовательности имеет одинаковые максимумы на частотах ⅓ и ⅔;
• Число, двоичной записью которого является последовательность Морса — Туэ, называется числом Пруэ-Туэ-Морса:

τ = ∑ i = 0 ∞ t i 2 i + 1 = 0.412454033640 … {displaystyle au =sum _{i=0}^{infty }{frac {t_{i}}{2^{i+1}}}=0.412454033640ldots } (последовательность A014571 в OEIS),

где t i {displaystyle t_{i}} — элементы последовательности Морса-Туэ. Это число трансцендентно (доказано K. Mahler в 1929 году).

Вариации и обобщения

Обобщение на произвольный алфавит

Имея произвольный алфавит из n символов, можно составить ровно n разных циклических перестановок этого алфавита. Затем, заменяя каждую «букву» алфавита на соответствующую перестановку, можно получить последовательность Морса — Туэ. Так например из трёх символов «1», «2», «3» можно составить три циклических перестановки: «123», «231», «312»:

1 → 123 {displaystyle 1 ightarrow 123} 2 → 231 {displaystyle 2 ightarrow 231} 3 → 312 {displaystyle 3 ightarrow 312} 1 1 2 3 1 2 3 2 3 1 3 1 2 1 2 3 2 3 1 3 1 2 2 3 1 3 1 2 1 2 3 3 1 2 1 2 3 2 3 1...

Многомерное обобщение

Многомерная последовательность Морса — Туэ определяется подобным образом. Так например двумерная последовательность (матрица) является пределом последовательности, каждый следующий член которой получается из предыдущего при помощи преобразования

1 → 1 0 0 1 {displaystyle 1 ightarrow {egin{matrix}1&0&1end{matrix}}} ; 0 → 0 1 1 0 {displaystyle 0 ightarrow {egin{matrix}0&11&0end{matrix}}}

Также двумерную последовательность Морса-Туэ можно представить как совокупность одномерных.